производилось сложение равноправных величин, во втором — двух величин, одна из которых основная, а другая дополнительная. Для двух величин, сложение которых называлось накоплением, при вычитании применялся термин «недоставать»; для величин, образованных прибавлением, при вычитании употреблялся глагол «вырывать». Термин же для умножения вообще означал «скушать». Треугольник в шумерской геометрии назывался «клин», трапеция — «лоб быка», круг — «обруч». Емкость обозначалась термином «вода», объем — «земля, песок», площадь именовалась «поле». Эта терминология показывает конкретно-практический характер арифметических и геометрических операций шумерской математики.
Достижения шумеров в области астрономии следует признать самым значительным их вкладом в мировую науку и культуру. Уже протошумерские печати с пиктограммами показывают, что в городах Южного Двуречья велись систематические наблюдения за Венерой (Инанной), Луной, Юпитером и Сатурном. Восход и заход Венеры, как и остальных планет, требовали специальных ячменно-пивных жертв. Было известно в то время и созвездие Тельца. Ранние печати из сопредельного с Шумером Элама содержат изображения животных (овцы, козла, быка) и людей-близнецов, что также может указывать на образы созвездий. Встречаются также и стилизованные изображения солнца (так называемые солярные розетки). Однако ни о каких вычислениях, связанных с астрономическими наблюдениями, ни эти, ни более поздние шумерские источники не сообщают.
В представлениях шумеров небо имело форму купола, центральная часть которого поднята на максимальную высоту, а края на линии горизонта смыкаются с плоской землей. На западе и на востоке предполагалось существование особых дверей или ворот для восхода и захода луны, солнца, планет и звезд. При восходе или заходе светил их божества-хозяева должны были отпирать специальные засовы. С позднешумерского времени различали видимую часть неба («лицо неба») и таинственную внутреннюю часть («сердце неба»). Звезды первоначально сравнивались со стадом коров, которое гонит по небу лазуритовым стрекалом лунный бог Нанна. Впоследствии у вавилонян появится иное сравнение — с небесными письменами. Связано оно с тем, что почти все вавилоно-ассирийские названия созвездий имеют шумерское происхождение и каждый небесный объект может прочитываться в контексте какого-либо мифа[9].
Единственный надежный источник для реконструкции астрономических знаний шумеров — их культовый календарь. Шумерский культовый календарь, являвшийся основным и эталонным для жителей всего Южного Двуречья, происходит из священного города Ниппура, божеством которого, напомним, был регулятор мирового порядка и владыка природы Энлиль. Календарь этот лунно-солнечный, он основан на корректном согласовании смены лунных фаз с годовым путешествием солнца вблизи созвездий небесного экватора. Календарь хорошо различает периоды равноденствий и солнцестояний, состоит из 360 дней, 12 месяцев и 4 сезонов. С целью уравнения двух циклов каждые несколько лет специальным указом вставлялся дополнительный 13-й месяц. Каждый месяц календаря начинался с новолуния и содержал 29 или 30 суток в нерегулярной последовательности. В свою очередь, сутки делились на 12 равных двойных часов, обозначавшихся шумерским словом для определения длин и расстояний (что-то вроде мили); двойные часы разделялись на 30
С календарем из Ниппура, без сомнения, связана и образная система Зодиака (известного только из поздних вавилонских источников). Шумеры заметили, что каждый год в одном и том же месяце на горизонте восходит определенное созвездие, и связали восход этого созвездия с состоянием природы в данном месяце. Это состояние фиксировалось традицией в ритуально-мифологической форме. Так появился известный нам вавилонский Зодиак:
1. Овен — название, представляющее собой игру смыслов и клинописных знаков. У шумеров это созвездие называлось
2. Телец — название, напрямую связанное с ритуалом второго ниппурского месяца. Тельцом называли бога Нинурту, победившего всех соперников своего города и после победы совершившего обряд священного брака со своей невестой. В это же время совершается ассоциативный со священным браком обряд утаптывания и распахивания сырой после разлива земли, на поле выводились как стадные волы, так и волы, запряженные в плуги. Смысл событий месяца — война, любовь и пахота. Все эти грани объединяет образ свирепого и плодовитого быка (а также трудолюбивого вола).
3. Близнецы — название, связанное с почитанием братьев-близнецов Сина и Нергала, рожденных Энлилем и Нинлиль в подземном мире. После этого один из братьев, Син, стал богом Луны и ушел на небо; другой, Нергал, остался под землей управлять миром мертвых.
4. Рак — сложное по переплетению ассоциаций название. Восход этого созвездия совпадает с периодом летнего солнцестояния, после которого солнце начинает пятиться назад, в подземный мир, а также с ранним севом зерновых, также уходящих под землю. С событиями этого времени связаны ритуальные проводы весеннего бога Думузи в подземный мир и его последующее оплакивание. Думузи в данном случае является олицетворением и опускаемого в землю зерна, и снижающегося солнца.
5. Лев — название, связанное с состязаниями, которые проводились в честь царя-героя Гильгамеша юношами городских кварталов. Гильгамеш и Саргон, стремившиеся оставить по себе бессмертную память военными походами, часто сравнивались со львом. Лев олицетворял одновременно царя зверей и солнце (из-за гривы). Именно таким солнечным царем-победителем был Гильгамеш.
6. Дева — название, связанное с обрядом очищения богини Инанны, вернувшейся на землю из подземного мира (где она, скорее всего, безрезультатно искала Думузи).
7. Весы — символ осеннего равноденствия, уравнивающего ночь и день. В шумерской традиции это время суда, который бог Солнца устраивает живым и мертвым, а также время почитания судей загробного мира Ануннаков.
8. Причина именования восьмого зодиакального созвездия Скорпионом из клинописных источников неясна.
9. Девятое созвездие называлось Пабильсаг, по имени шумерского героя, отождествлявшегося с Нинуртой и Нергалом. На межевых камнях из Вавилона этот герой изображен с луком в руке, отсюда и пошло более позднее именование Стрелец.
10. Десятое созвездие называлось Рыбокозленок. Оно восходило в период зимнего солнцестояния и было связано с ритуалом выведения из подземного мира и кормления умерших отцов государства. Его символика связана с одним из образов бога Энки: рыба символизировала недоступные глубины премудрости, а козленок — пророчество о грядущей судьбе человечества.
11. Водолей — позднее название созвездия, которое в клинописных текстах именуется Великан. В самом деле, на многих шумеро-аккадских изображениях можно видеть высокорослое, длинноволосое и бородатое существо мужского пола, от плеч или раскинутых рук которого отделяются два водных потока. Символика созвездия связана с проливными дождями, максимум которых выпадает в Месопотамии именно в это время (январь-февраль).
12. Рыбы имели и другое имя — Хвосты. Как и название последнего ниппурского месяца, «жатва», название последнего зодиакального знака символизировало конец цикла, уход жизни в область водного хаоса.
Из Вавилона дошло несколько астрономических текстов, являющихся копиями более ранних шумерских. Из них можно узнать, что умели делать шумеры в этой области. Они могли определять
