Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

случаями конформных преобразований.

Проектируя гиперсферу мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 из ее центра на касательную гиперплоскость к ней, мы получим модель гиперболического пространства в шаре евклидива пространства, в которой прямые линии гиперболического пространства изображаются диаметрами и хордами шара, а параллели Лобачевского- хордами, имеющими один общий конец. Эта модель по существу совпадает с проективной моделью.

Проектируя ту же гиперсферу из одной ее точки на касательную гиперплоскость в диаметрально противоположной точке, мы получим другую модель гиперболического пространства в шаре евклидова пространства. В этой модели прямые линии гиперболического пространства изображаются диаметрами шара и дугами окружностей ортогональных к гиперсфере, ограничивающей шар. В этой проекции углы между линиями изображаются в натуральную величину. Эта модель является конформной моделью, а определяющая ее проекция - аналог стериографической проекции.

Применяя аналогичные проекции к гиперсферам, определяющим другие неевклидовы пространства, мы получим конформные модели этих пространств. Эти модели можно рассматривать как модели конформного и псевдоконформных пространств.

Симплектическим пространством размерности 2n-1 называется проективное пространство той же размерности, в котором задана кососимметрическая билинейная форма (a,b) = - (b,a). Прямые линии АВ, определяемые точками А и В, представляемыми векторами а и b, для которых (a,b) = 0, называются нуль - прямыми, они образуют линейный комплекс прямых. Проективные преобразования, переводящие в себя этот линейный комплекс, называются симплектическими преобразованиями.

Первоначально эти преобразования назывались преобразованиями линейного комплекса, а группа этих преобразований называлась комплекс- группой (Komplex-Gruppe). Когда Герман Вейль переехал из Германии в США и стал называть комлекс - группу complex group, он увидел, что это неудобно, так как эти же слова означают 'комплексная группа'. Поэтому он предложил называть эту группу симплектической, переведя латинское слово complexus - 'сложный' греческим словом symplektikos. Преобразования и пространство также стали называть симплектическими.

Симплектическим пространством размерности 2n называется аффинное пространство той же размерности, в котором определено кососимметрическое скалярное произведение векторов (a,b) = - (b,a).

Топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью гомеоморфной n-мерному евклидову пространству, называется n-мерным многообразием. В каждой такой окрестности можно ввести координаты, определяемые координатами в евклидовом пространстве.

В том случае, когда в каждом пересечении таких окрестностей переход от одной системы координат к другой задается дифференцируемыми или аналитическими функциями, многообразие называется, соответственно, дифференцируемым или аналитическим.

В каждой точке дифференцируемого многообразия можно определить касательное линейное пространство. Координаты векторов этого простран­ства являются дифференциалами координат точек многообразия.

Если в касательном пространстве каждой точки n-мерного диф­ференцируемого многообразия определено скалярное произведение n- мерного евклидова пространства или n-мерного пседоевклидова пространства индекса k, мы получим, соответственно, n-мерное риманово пространство или псевдориманово пространство индекса k. В римановых и псевдоримановых пространствах можно определить длину линии, угол между пересекающимися линиями, геодезические (кратчайшие) линии и площадь участка двумерной поверхности.

Если из точки А риманова пространства выходят геодезические линии АВ и АС, и углы геодезического треугольника АВС при его вершинах обозначены теми же буквами A, B, C, то предел отношения разности А+В+С-п, где углы А,В,С измерены в радианной мере, к площади треугольника АВС при стремлении точек В и С к А называется секционной кривизной риманова пространства в точке А в данном двумерном направлении.

Эллиптическое и гиперболическое пространства являются частными случаями риманова пространства. Так как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в эллиптическом пространстве, получаемом из гиперсферы радиуса r, равна r (A+B+C-п), эллиптическое пространство является римановым пространством постоянной положительной кривизны 1/r². Taк как площадь всякого прямолинейного треугольника АВС в гиперболическом пространстве, получаемом из гиперсферы мнимого радиуса r, равна r (A+B+C-pi),, гиперболическое пространство является римановым пространством постоянной отрицательной кривизны -1/q².

Aналогично определяется секционная кривизна в двумерном направлении в псевдоримановом пространстве.

Если в дифференцируемом многообразии для всяких двух бесконечно близких точек определено аффинное отображение касательных пространств в этих точках, многообразие называется пространством аффинной связности.

Если в римановом или псевдоримановом пространстве или в пространстве аффинной связности отражение от каждой точки по геодезическим линиям не изменяет расстояний между точками или сохраняет аффинную связность, пространство называется симметрическим пространством.

Геометрии вещественных евклидовых, псевдоевклидовых, неевклидовых, симметрических, римановых и псевдоримановых пространств посвящены многие главы моих книг 1955, 1966, 1969 и 1997 гг. При этом особое внимание я уделял интерпретациям неевклидовых пространств, так как считаю интерпретации 'стереоскопическим зрением геометра', ибо свойства неевклидовых пространств, которые отличаются от свойст евклидова пространства и ускользают от нашего внимания в одних интерпретациях, хорошо видны в других интерпретациях.

Комплексные и кватернионные пространства

Комплексное квадратичное евклидово пространство определяется так же, как вещественное. Это же пространство является комплексной формой всех вещественных псевдоевклидовых пространств той же размерности. В случае комплексного и кватернионного эрмитовых евклидовых пространств скалярный квадрат (а,а) является вещественной положительно определенной эрмитовой формой, а в случае комплексного и кватернионного эрмитовых псевдоевклидовых пространств индекса k скалярный квадрат (а,а) является вещественной знаконеопределенной эрмитовой формой индекса k.

Расстояние между точками А и В эрмитова евклидова или псевдоевклидова пространства равно квадратному корню из скалярного квадрата (а,а) вектора а=АВ. Нетрудно проверить, что n-мерные комплексное и кватернионное эрмитовы евклидовы пространства изометричны, соответственно, 2n- мерному и 4n-мерному вещественным евклидовым пространствам, а комплексное и кватернионное эрмитовы псевдоевклидовы пространства индекса k изометричны, соответственно, 2n-мерному вещественному псевдоевклидову пространству индекса 2k и 4n-мерному вещественному псевдоевклидову пространству индекса 4k.

Движениями эрмитовых евклидовых и псевдоевклидовых пространств называются аффинные преобразования этих пространств, сохраняющие расстояния между точками.

Если а и b - два вектора комплексного или кватернионного эрмитова пространства, изображаемые в вещественных пространствах ортогональными векторами, то их скалярное произведение (a,b) равно ucos j, где u в случае комплексного пространства - мнимая единица i, a в случае кватернионного пространства - кватернион bi +cj +dk единичного модуля, а j называется углом голоморфности. Угол j равен 0, когда векторы а и b принадлежат одной прямой линии, и равен п/2, когдя эти векторы принадлежат одной нормальной n-цепи, т.е. множеству точек с вещественными координатами или тому, что получается из этого множества точек при движении пространства. Двумерные площадки, для которых j=0, называются голоморфными, а двумерные площадки, для которых j=n/2, называются антиголоморфными.

Аналогично, угол голоморфии и голоморфные и антиголоморфные двумерные площадки определяются в комплексных и кватернионных эрмитовых псевдоевклидовых пространствах.

Точки n-мерных комплексного и кватернионного эрмитовых эллиптических пространств можно представить прямыми линиями (n + 1)- мерных эрмитовых евлидовых пространств над полем С или телом Н, проходящими через одну точку, причем расстояние d между точками равно произведению угла между