полупростой группы. Форма -Ф определяет инвариантную метрику Картана в полупростой группе Ли, риманову в случае компактных групп и псевдориманову индекса Р в случае некомпактных групп. В любых группах Ли однопараметрические подгруппы этих групп и их классы смежности определяют инвариантную аффинную связность.
Элемент а алгебры Ли полупростой группы Ли называется регулярным, если множество элементов b этой алгебры, для которых [ab]=0, имеют наименьшую размерность. Эта наименьшая размерность называется рангом полупростой группы Ли. Указанное подмножество элементов алгебры Ли полупростой группы Ли, называется подалгеброй Картана этой алгебры, а коммутативная подгруппа группы Ли, соответствующая этой подалгебре, называется подгруппой Картана.
Если h - элемент подалгебры Картана Н алгебры Ли полупростой группы Ли G, а g - произвольный элемент этой алебры Ли, то коммутатор [hg] является векторной линейной функцией элемента g и может быть записан в виде Аg, где А - линейный оператор. Для всех элементов h соответственные операторы А имеют одни и те же собственные векторы, а собственные числа операторов А, соответствующих одному и тому же собственному вектору, являются линейными формами j =uh на линейном пространстве Н, где - u ковектор, определяющий линейную форму. Формы j называются корневыми формами группы G. Так как ковекторы u в случае евклидовой или псевдоевклидовой метрики в подалгебре Н, порождаемой метрикой Картана в группе G, можно рассматривать как векторы, то ковекторы u называют корневыми векторами группы G.
В случае, когда группа G компактна, ее корневые формы и корневые векторы чисто мнимы, и корневые векторы могут быть записаны в виде u = iv.
В случае, когда группа G некомпактна, ее корневые формы и корневые векторы могут быть вещественными, чисто мнимыми и комплексно сопряженными.
В случае, когда группа G некомпактна и все ее корневые векторы вещественны, группа называется расщепленной. Характеры расщепленных простых групп всегда равны рангам этих групп. Характеры компактных полупросных групп Ли равны произведениям размерностей этих групп на - 1.
Корневые векторы комплексных и компактных простых групп Ли образуют корневые системы, определяемые диаграммами Е.Б.Дынкина.
Корневые системы комплексных простых групп Ли всегда расположены в вещественном подпространстве подалгебры Картана. В этом подпространстве можно ввести систему координат и говорить, что вектор а больше вектора b, если из первых неравных координат этих векторов координата вектора а больше координаты вектора b. Вектор называется положительным или отрицательным, если он, соответственно, больше или меньше нулевого вектора. Согласно Дынкину корневой вектор называется простым, если он положителен и его нельзя представить в виде суммы двух положительных корневых векторов. Число положительных простых корневых векторов простой группы Ли всегда равно рангу группы.
В диаграммах Дынкина комплексных простых групп Ли каждый простой корневой вектор изображается точкой. Эти точки не соединяются линиями, если векторы ортогональны, соединяются 1, 2 и 3 линиями, если угол между векторами равен, соответственно, 2п/3, 3п/4 и 5п/6. В двух последних случаях векторы, изображаемые точками, имеют различную длину, и между точками, изображающими эти векторы ставится знак >. В случае компактных простых групп Ли такие же диаграммы строятся для вещественных векторов v.
Корневые системы некомпактных простых групп Ли изображаются диаграммами И.Сатаке - видоизмененными диаграммами Дынкина, в которых точки, изображающие вещественные и чисто мнимые корневые векторы, соответственно, белые и черные, а точки, изображающие комплексно сопряженные векторы, - белые, соединенные дугой с двумя стрелками в ее концах.
Как показали В.Киллинг и Э.Картан имеются 4 бесконечные серии алгебр Ли простых комплексных групп Ли, называемых группами классов An, Bn, Cn и Dn и 5 отдельных алгебр Ли простых комплексных групп Ли классов G2, F4, E6, E7, E8, где нижние индексы равны рангам групп. Группы классов An, Bn, Cn и Dn называются классическими простыми группами Ли, а группы пяти последних классов называются особыми простыми группами Ли.
Каждая из этих комплексных групп является комплексной формой нескольких локально изоморфных компактных групп и нескольких локально неизоморфных некомпактных групп.
Классические простые группы Ли
Группы классов A1, B1, C1 локально изоморфны; локально изоморфны также группы классов B2 и C2, и группы классов A3 и D3. Группа класса D2 полупроста и изоморфна прямому произведению двух групп класса A1. Группа класса D1 проста, но не полупроста, эта группа коммутативна и состоит из комплектных чисел cost + isint. Поэтому при перечислении простых полупростых групп Ли группы класса Ап можно начинать с группы A1, группы класса Bn можно начинать с группы B2 группы класса Cn можно начинать с группы C3 и группы класса Dn можно начинать с группы D4.
Комплексная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных (т.е. с единичным определителем) матриц алгебры CM(n + 1).
Расщепленная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных матриц алгебры M(n+1) и группе унимодулярных унитарных матриц алгебры C'M(n + 1).
Компактная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе унимодулярных унитарных матриц алгебры CM(n + 1).
Остальные вещественные некомпактные простые группы Ли класса An локально изоморфны группам унимодулярных псевдоунитарных матриц алгебры CM(n + 1) и группе унимодулярных матриц алгебры HM((n + 1)/2); в алгебре кватернионных матриц не существует определителей, но имеются вещественные функции матриц, называемые полуопределителями, и унимодулярными кватернионными матрицами называются матрицы с единичными полуопределителями.
Комплексная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе унимодулярных oртогональных матриц алгебры CM(2n + 1).
Компактная простая группа Ли класса Bn локально изоморфна группе унимодулярных oртогональных матриц алгебры M(2n + 1)
Некомпактные вещественные простые группа Ли класса Bn локально изоморфны группам унимодулярных псевдоoртогональных матриц алгебры M(2n + 1).
Комплексная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических матриц алгебры CM(2n).
Расщепленная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе симплектических матриц алгебры M(2n) и группе унитарных матриц алгебры HM(n).
Компактная простая группа Ли класса Cn локально изоморфна группе унитарных матриц алгебры HM (n).
Остальные некомпактные вещественные простые группы Ли класса Cn локально изоморфны группам псевдоунитарных матриц алгебры HM(n).
Компактная и расщепленная простые группы Ли класса C1 локально изоморфны, соответственно, группам автоморфизмов алгебр H и H'.
Комплексная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры CM(2n).
Kомпaктная простая группа Ли класса Dn локально изоморфна группе унимодулярных ортогональных матриц алгебры M(2n).
Некомпaктные вещественные простые группы Ли класса Dn локально изоморфны группам унимодулярных псевдоортогональных матриц алгебры M(2n) и группе симплектических матриц алгебры HM (n).
Группы унимодулярных ортогональных и псевдоортогональных матриц алгебры M(n) являются фактор- группами подгрупп алгебр А(п) и А(n-k, k) по их инвариантным подгруппам, состоящим из элементов 1 и -1 ; эти подгруппы называются спинорными группами.
Рассщепленная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе проективных преобразований n-мерного вещественного проективного пространства.
Компактная простая группа Ли класса An локально изоморфна группе движений n-мерного
