Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

углам другого треугольника','Треугольник, вписанный в полукруг, - прямоугольный'.

Ясно, что первые три теоремы Фалес доказывал перегибанием чертежа, а 4-ю - наложением одного треугольника на другой, 5-ю теорему также можно доказать, дополняя прямоугольный треугольник до прямоугольника и перегибая полученный чертеж по осям симметрии прямоугольника.

Фалес был и астрономом, ему приписывают первое предсказание затмения.

Другие гилозоисты считали началом всего, не воду, а другие греческие элементы. Анаксимен и Диоген считали началом всего воздух, Гераклит, учившийся у персидских огнепоклонников, - огонь. Анаксимандр, ученик Фалеса и учитель Анаксимена, считал началом всего 'неопределенное'.

Пифагор и Демокрит

Крупными древнегреческими математиками V в. до н.э. были Пифагор и Демокрит.

В предыдущей главе я цитировал строки стихотворения В.Я.Брюсова С Пифагором слушай сфер сонаты, Атомам дли счет, как Демокрит.

Но Пифагор был не только автором астрономической теории, согласно которой небесные сферы, несущие планеты, издают при своем вращении гармоничные звуки. Пифагор был великим математиком, имя которого носит знаменитая теорема, основателем одного вида математического атомизма и геометрической алгебры.

Демокрит был не только основоположником учения о физических атомах, но и основателем другого вида математического атомизма, оказавшего значительное влияние на дальнейшее развитие античной математики и, в частности, на Евклида. Демокритовскому математическому атомизму была посвящена книга С.Я.Лурье 'Теория бесконечно малых у древних атомистов'.

Проблемы математического атомизма у его основателей и их средневековых последователей неоднократно были предметом моих статей и докладов. Математические атомисты считали, что пространство в целом и геометрические фигуры являются не геометрическими местами, как считал Аристотель, а множествами точек, причем конечные образы пространства и геометрические фигуры состоят из конечного числа точек. Пифагорейцы считали, что точки не имеют размеров, а геометрические величины создаются расстояниями между точками. Демокрит же считал, что атомы пространства, принципиально неделимы и имеют конечные, хотя и очень малые размеры.

Пифагор отождествлял точки с единицами и представлял числа в виде геометрических фигур, числа точек в этих фигурах получили название 'фигурных чисел'. Частными случаями таких чисел являются квадратные и кубические числа, названия которых сохранились до настоящего времени. Изображая квадратные числа в виде квадратов, пифагорейцы называли корни из этих чисел сторонами или основаниями.

В V веке н.э. индийские астрономы перевели слово basis 'основание' словом 'пада', означающим основание стены и корень дерева. В VIII веке арабские математики перевели слово 'пада' словом 'джизр' - корень. В XII веке европейские математики перевели слово 'джизр' латинским словом radix, которое впоследствии было переведено на живые европейские языки словами, означающими корень. Так появились термины современной математики 'корень' и 'радикал.'

Пифагорейцы называли произведения двух и трех чисел, соответственно, плоскими и телесными числами и изображали их прямоугольниками и параллелепипедами, что и привело к геометрической алгебре.

Так как Пифагор был одним из творцов геометрической алгебры, я считаю, что его доказательство 'теоремы Пифагора' было таким. Рассматривая прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, Пифагор строил квадрат на гипотенузе и с внешней стороны этого квадрата пристраивал к нему треугольники равные данному. Получался большой квадрат со сторонами а+b. Так как площадь данного треугольника равна аb/2, то площадь большого квадрата равна c²+2ab. С другой стороны, так как большой квадрат можно разделить на два квадрата со сторонами а и b, и два прямоугольника, его площадь в силу известной теоремы геометрической алгебры равна а² + 2аb + b². Из равенства с²+2аb=a²+2ab + b² вытекает равенствo c²= а²+b².

Пифагорейцы определили простые числа, которые нельзя представить в виде произведений, совершенные числа, равные суммам своих делителей, и дружественные числа - пара чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого числа.

В отличие от гилозоистов, которые считали началом всего те или иные материальные элементы, пифагорейцы считали началом всего абстрактное понятие - число, и объясняли все закономерности мира отношениями натуральных чисел.

Платон

После открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков, отношения которых не являются отношениями натуральных чисел, их школа потерпела крах. Ей на смену пришла школа Платона (427-347 до н.э.), который заменил арифметику в объяснении закономерностей мира геометрией. Платон написал на дверях своей Академии 'Да не войдет сюда необученный геометрии'. Платон значительно способствовал развитию математики, его ученики Евдокс и Теэтет были крупными математиками.

Платон не любил Демокрита, скупал рукописи его сочинений и сжигал их.

Аристотель

Занимался математикой и Аристотель (384-322 до н.э.) В своей 'Физике' Аристотель дал определения непрерывности и бесконечности и сформулировал принцип: 'Непрерывная величина не может состоять из неделимых частей, например, линия из точек'. Аристотель считал, что непрерывная величина может быть только 'геометрическим местом' в котором находятся точки. В 'Первой Аналитике' Аристотель разработал теорию силлогизмов, а 'Во второй Аналитике'- теорию доказательств.

По мнению Аристотеля мир состоит из трех областей :

подлунного мира - от центра Земли до орбиты Луны, в котором действуют законы обычной физики,

надлунного мира - от орбиты Луны до сферы неподвижных звезд, в котором возможно движение только с постоянной скоростью и по идеальным линиям - прямым и окружнастям,

области за сферой неподвижных звезд, в которой живут боги.

Аристотель называл эти области областью физики, областью математики и областью божественной науки.

В обнаруженном мной в Баку математическом трактате Омара Хайяма приведены пять 'принципов, заимствованных у Философа', 4 из которых являются известными утверждениями Аристотеля, откуда видно, что Философом Хайям называл Аристотеля. Тот из этих принципов, который отсутствует в известных нам сочинениях Аристотеля, гласит: 'Две сходящиеся прямые линии пересекаются и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения'. Этот принцип, равносильный V постулату Евклида, по-видимому, был сформулирован Аристотелем в одном из его сочинений, которое не сохранилось.

' Во 'Второй Аналитике' Аристотель указывал, что те, кто писал о параллельных линиях, совершали логическую ошибку 'постулирование основания', т.е. неявно предполагали выполненным утверждение равносильное доказываемому. Отсюда ясно, что 'принцип Философа' равносильный V постулату Евклида, был сформулирован Аристотелем в результате анализа того, что писали его предшественники о параллельных линиях. Утверждениям о параллельных линиях в других сочинениях Аристотеля посвящена статья Имре Тота 'Теория параллельных у Аристотеля'.

Во многих трудах Аристотеля цитируются недошедшие до нас сочинения Пифагора и Демокрита.

Евклид

Евклид (ок. 365 - ок.300 до н.э.) в своих 'Началах' подвел итог античной элементарной геометрии и теории чисел. Когда Евклид закончил работу над этой книгой, он преподнес один экземпляр египетскому царю Птолемею I, в столице которого Александрии он работал. Царь перелистал книгу с непонятными для него чертежами и спросил Евклида: 'Нет ли более короткого пути в науку, хотя бы для царя?'. 'Нет, - ответил Евклид, - нет царского пути в науку'.

В Советском Союзе были очень популярны слова Маркса из его предисловия к французскому изданию 'Капитала'. Эти слова печатались на обложках тетрадей и были написаны на многих плакатах, висевших во всех школах и вузах : 'К науке не ведет широкая столбовая дорога, и только тот может расчитывать достичь ее сияющих вершин, кто, не страшась трудов, карабкается по ее каменистым тропам'. Перевод этот был