Живой учебник геометрии

Какие углы равны в треугольниках BCDи АВС?

2) Покажите на черт. 206 все подобные треугольники.

До сих пор мы знали следующие два соотношения сторон в прямоугольном треугольнике: то, что сумма двух его сторон больше третьей (это верно и для всякого треугольника) и то, что гипотенуза длиннее каждого из катетов. Установим теперь третье соотношение, имеющее широкое применение, на практике. Оно состоит в том, что если возвысить длины катетов в квадрат и сложить полученные числа, то результат будет равен квадрату длины гипотенузы. Короче это можно высказать так:

с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а др а т у г и п о т е н у з ы.

Если, например, один катет равен 3 м, другой 4 м, то сумма их квадратов 32+ 42, т. е. 25, есть квадрат гипотенузы, и следовательно, длина гипотенузы – 5 метров.

Покажем, как убедиться, что указанное соотношение верно для всякого прямоугольного треугольника. Обозначим катеты прямоугольного треугольника (черт. 206) через а и с, гипотенузу – буквою b, а отрезки, на которые она делится, высотою – через р и д. Так как весь наш треугольник подобен треугольникам I и II (по каким признакам?), то

a/b = g/a и c/b = p/c

Следовательно:

a2= bq

c2= bp

Отсюда имеем:

a2+ c2= bq+ bp= (b+ q)b= bb= b2

Это равенство, a2+ c2= b2, и выражает соотношение, которое требовалось доказать.

Открытие установленного сейчас соотношения приписывается древнему математику Пифагору; отсюда название этого положения «т е о р е м а Пифагора». (Т е о р е м а м и в математике называются все те утверждения, истинность которых становится очевидной только после доказательства).

Применения

84. Есть ли прямой угол в треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см?

Р е ш е н и е. Если этот треугольник прямоугольный, то самая длинная его сторона, 13 см, есть гипотенуза, а тогда между нею и катетами (5 см и 12 см) должно существовать соотношение:

52+ 122= 132= 169.

Так как 25 + 144 = 169, то требуемое соотношение между сторонами действительно существует, и значит в рассматриваемом треугольнике против стороны 13 см лежит прямой угол.

85. Найти гипотенузу треугольника, катеты которого 19 см и 40 см:

Р е ш е н и е.

86. Из гавани отплыл в северном направлении пароход со скоростью 18 морских миль в час. Одновременно из той же гавани отплыл другой пароход в западном направлении со скоростью 24 миль в час. Какое расстояние разделяло их через час?

Р е ш е н и е. Искомое расстояние есть гипотенуза треугольника, катеты которого равны 18 милям и 24 милям. По теореме Пифагора,

Пароходы будут отделены расстоянием в 30 миль.

87. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого 15 м. Боковая сторона 19,5 м.

Р е ш е н и е. Высота, проведенная к основанию этого треугольника, вычисляется по теореме Пифагора; она равна