Живой учебник геометрии

Поэтому искомая площадь = 1/2 15 • 18 = 135 кв. м.

88. Надо вырезать из листа жести равносторонней треугольник площадью 260 кв. см. Какой длины должна быть его сторона?

89. Каково соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (черт. 207).

Р е ш е н и е. Так как площади квадратов построенных на сторонах прямоугольного треугольника, выражаются квадратами этих сторон, то, по теореме Пифагора, сумма квадратов, построенных на катетах, равна квадрату, построенному гипотенузе.

Соотношение это существует, как легко понять, также между площадями кругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

90. Начертить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных; кругов.

Р е ш е н и е. Радиус искомого круга должен быть такой длины х, чтобы ?x2= xR2+ ?r2, где R и r– радиусы данных кругов. Сократив это уравнение на имеем: x2= R2+ r2. Отсюда ясно, что искомый радиус есть гипотенуза треугольника, катеты которого rи R.

§ 72. Другие соотношения в прямоугольном треугольнике

1) Устанавливая в предыдущем параграфе зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, мы попутно вывели, что (черт. 206)

a2= bq,

c2= bp.

Выражая это соотношение словесно, мы скажем, что

к в а д р а т к а ж д о г о к а т е т а р а в е н п р о и з в е д е н и ю и з г и п о т е н у з ы и п р о е к ц и и э т о г о к а т е т а н а г и п о т е н у з у.

2) Кроме того, из подобия треугольников I и II следует, что

р : h= h: q, где h – высота,

т. е. h (высота) есть повторяющийся член непрерывной пропорции, другие члены которой есть р и q. Повторяющийся член непрерывной кратной пропорции принято называть средне-пропорциональным (или средне- геометрическим) между двумя остальными членами. Поэтому сейчас установленную зависимость можно высказать так:

в ы с о т а, п р о в е д е н н а я к г и п о т е н у з е, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и о н а л ь н а я м е ж д у о т р е з к а м и г и п о т е н у з ы. Далее, из пропорции р : h = h: q следует, что h2= pq, т. е.

к в а д р а т в ы с о т ы, п р о в е д е н н о й к г и п о т е н у з е, р а в е н п р о и з в е д е н и ю о т р е з к о в г и п о т е н у з ы.

§ 73. Соотношения между отрезками перпендикулярных хорд

Проведем через: какую-нибудь точку окружности (черт. 208) перпендикуляр CDк диаметру АВ. Легко видеть, это этот перпендикуляр есть высота, проведенная к гипотенузе треугольника АСВ, так как угол АСВ – прямой (почему?). Поэтому

AD: DC = DC: DB,

или (DC)2= AD: DB;

другими словами: