неопределяемые понятия.
Подход современной математики следующий: мы вводим понятия прямой и точки, но не определяем их, то есть не говорим, что есть точка и что есть прямая. Зато мы говорим, в какие отношения они могут вступать: точка может принадлежать прямой (соответственно, прямая — проходить через точку). Всё! Мы полностью абстрагировались от смысла понятий, мы просто указали формальные отношения между ними! Можно сказать, что математика занимается не столько самими объектами, сколько отношениями между ними!
Таким образом, в современной математике даже нельзя поставить вопрос, чётко или нечётко определены понятия прямой и точки — они вообще не определены! Кстати, и понятие «принадлежать» тоже не определено. Просто говорится, что прямая и точка могут вступать в такое отношение друг с другом. Полное абстрагирование от смысла, только работа с формальными отношениями.
С другой стороны, неопределяемые понятия не должны нас удивлять. К выводу об их существовании пришёл ещё Аристотель. Мы определяем одни понятия через другие, те понятия — через третьи и т. д. Рано или поздно цепочка должна закончиться. Она закончится на таких понятиях, которые мы уже не можем определить, а познаём интуитивно. Такие понятия Аристотель назвал «категориями».
Точка и прямая — безусловно, одни из подобных понятий. Мы их можем выразить немного другими словами, но это не есть определение в логическом смысле. Евклидово определение прямой как «длины без ширины» — это, видимо, именно дополнительное пояснение для нашей интуиции, а не логическое определение. Тогда сразу возникают вопросы, что такое «длина» и «ширина». Эти понятия уже сами связаны с геометрией, то есть с тем, что мы как раз и собираемся строить. Возникает замкнутый круг. Поэтому «длина без ширины» — это не логическое определение, а просто пояснение для нашей интуиции. Наверное, Евклид это понимал, особенно, если был знаком с трудами Аристотеля[102].
Неопределимы также и такие философские категории как «время», «пространство», «материя» и т. д. Это такие «первопонятия», кирпичики, которые мы познаём интуитивно, из опыта и на основе которых начинаем строить другие, более сложные понятия.
Евклид предпочёл дать какие-то пояснения понятиям «точка» и «прямая», а современная математика честно признаётся, что эти понятия неопределимы.
С. Ёлкин. Ну, давайте уж идти до конца! Это значит, и понятие «проходить» тоже не определено. То есть не определены все слова, из которых состоит аксиома! Вы утверждаете, что математика занимается отношениями, а понятие «отношение» определено? Нельзя слепо доверять классикам, хотя бы потому, что сами классики не доверяли своим предшественникам, тоже классикам. Кстати мне тоже можете не доверять, хотя я пока не классик!
А. Трушечкин. Да, совершенно верно, я об этом выше написал, что и сами отношения не определены. Просто постулируется, что они имеются. Не определены все слова, из которых состоит аксиома!
В аксиомах понятия не определяются, а вводятся. В аксиомах геометрии вводится, что есть такие понятия, как «точка» и «прямая», и между ними существует отношение принадлежности. Далее аксиомы фиксируют правила работы с этими понятиями, утверждения, связанные с ними. И дальше математик работает.
А наполнение всей этой абстрактной конструкции конкретным смыслом (из физики, из жизни) — это уже другой вопрос.
В современной математике принято различать язык и метаязык (язык над языком). Как сказано выше, аксиомы вводят определённый язык, с которым дальше можно работать, составлять на этом языке какие-то фразы, предложения. Но чтобы сформулировать эти аксиомы, мы уже должны на каком-то языке разговаривать. В данном случае это естественный язык — русский (мы), немецкий (Гильберт), древнегреческий (Евклид) и т. д.
Метаязык — это язык, с помощью которого вводится интересующий нас язык (язык геометрии). В дальнейшем понятия из языка и из метаязыка не должны смешиваться. Сформулировали по-русски аксиомы геометрии — а дальше, работая с геометрией, мы используем только понятия и правила языка геометрии. Именно в этом смысле математика — наука строгая и однозначная.
Так вот «отношение» в данном контексте — это слово из метаязыка. Иначе говоря, в данном случае оно не принадлежит самой математике (геометрии), а принадлежит русскому языку.
Хотя известно, что есть раздел математики «исчисление отношений». Здесь отношение становится уже математическим объектом. Если можно так выразиться, исчисление отношений занимается отношениями между отношениями!
С. Ёлкин. Скажите, если я начну вводить понятия геометрии на таукитянском языке, то вы поймёте и сможете развивать геометрию? Не будем затягивать, ответ очевиден… Нет!
То есть вам для формулировки строгой и однозначной математики нужен хоть какой-то, но язык, а он не может быть точным и строгим по своей природе. Отсюда считаю, что доказал утверждение Жубера об исчезновении аксиом. Либо аксиомы неоднозначны и нестроги, либо они лишены содержания. А вещь без содержания ничто.
Очень похоже на теорему К. Гёделя: «Либо математика не полна, либо противоречива». Для доказательства очевидной вещи Курт Гёдель написал том страниц на триста, а в конце концов всё равно использовал парадоксальное утверждение: «я (теорема) недоказуема».
А. Трушечкин. Метод математики: отгородиться от нестрогого естественного языка, создав (на этом языке) специфический узкий язык со строгими правилами и запретив дальнейшее примешивание нашего языка к математическим рассуждениям.
