Том (7). Острие шпаги

где «y» теоретически не может быть больше 19, чтобы «x» получился бы величиной целочисленной и реальной для человеческого возраста. Очевидно, в этом и подразумевалась мудрость искусства покойного математика. (Примеч. авт.)

13

Примечание автора для особо интересующихся. Если, как следует из квадрата орнамента, z = y + a, то z² = x² + y² будет иметь вид z² = y² + (a² + 2ay) и x² = a (a + 2y). Если a = a² и (a + 2y) = b² то x = ab, y = (a² – b²) / 2; z = (a² + b²) / 2.

Из выражения для «y», где в числителе разность квадратов a и b, ясно, что хотя бы одна из этих величин не может быть четной, иначе «y» не будет целым числом. Случай с иррациональными числами рассмотрен в последующем примечании.

Для возрастающих коэффициентов a и b можно составить таблицу, из которой вытекает ряд закономерностей, в частности формулировка новой теоремы. Нечетный катет простейших пифагоровых троек в целых числах разлагается на два взаимно простых сомножителя, квадраты которых соответственно равны сумме или разности гипотенузы и второго катета, то есть в дополнение к теореме Пифагора: a² = z – y; b² = z + y.

Таблица простейших пифагоровых троек

(В приводимой таблице цифры в скобках получены после сокращения намеченного в таблице значения на общий множитель и равны цифрам столбца при β = 1.)

14

x = m² – n²; y = 2mn; z = m² + n². (Примеч. авт.)

15

Примечание автора для особо интересующихся.

Если положить a = m + n; b = m – n, то x = ab = (m + n) (m – n) = m² – n²; y = 2mn; z = m² + n², что и было записано Декартом.

16

Примечание автора для особо интересующихся.

Вертикальные ряды x представляют собой арифметические прогрессии с показателем = 2β. Все значения сторон треугольников с возрастанием ряда изменяются по арифметической прогрессии, показатель которой для y – постоянен и равен 4, а для x и z увеличивается с порядковым номером ряда и порядкового номера тройки в вертикальном ряду и равен 4 (β + i – 1), где i – порядковый номер тройки в ряду.