рядов единиц. Всегда бы оставался такой ряд единиц, который мы еще не проверяли. То есть тут нужно правило, которое бы охватывало все без исключения ряды единиц. Такими вещами и занимаются математики. Они не особенно интересуются частными случаями, а ищут законы, непреложные правила, справедливые для всего бесконечно большого царства чисел. Вечные правила. Правила, которым подчиняются все, абсолютно все жители страны чисел.
ГЕНИЙ СЧЕТА
Герт Миттринг, информатик и педагог из Бонна, пятикратный победитель чемпионата мира по счету, дважды внесенный в Книгу рекордов Гиннеса. Он, например, может за 13,3 секунды вычислить корень 137-й степени из 1000-значного числа. Несмотря на такую феноменальную способность к счету и коэффициент интеллекта 145, в школе Миттринг учился не особенно хорошо. Он даже иногда получал двойки по математике, а средняя оценка в аттестате у него всего 3,7.
В нашем случае жителей царства чисел можно успокоить. Никакой закон не предписывает им подчиняться «топот-принципу» каждый раз при умножении на отряд единиц. В этом можно убедиться путем перебора. Уже при ряде единиц из десяти штук принцип опасно колеблется, ведь цифра в середине не может быть больше 9. При десяти единицах в ряду результат умножения будет такой: 1111111111 ? 1111111111 = 1 234 567 900 987 654 321. Отголосок «топота» еще слышен, но уже не очень четко. А если добавить еще одну единицу в ряд, «топот-принцип» окончательно исчезнет. Получится 123 456 790 120 987 654 321. Все, «топот» замолк. Прощай!
И здравствуй, Карл Фридрих Гаусс! Самое время тебе появиться! Чтобы понять, с каким удовольствием математики общаются с царством чисел, нам пора наконец познакомиться с настоящим математиком. Карл Фридрих Гаусс был не просто настоящим математиком, а одним из самых знаменитых математиков в мире. Он жил с 1777 по 1855 год в Геттингене, где в течение 48 лет преподавал в университете. С математикой у Гаусса было хорошо с раннего детства. «Считать я научился раньше, чем писать», — говорил он. А его отец вспоминал, как сын однажды указал ему на ошибку в подсчетах. А ведь малышу в ту пору было всего три года! Так что Гаусс был настоящим вундеркиндом, но таким, которого в школе замечают только на уроке математики. У его учителя, герра Бюттнера, была привычка давать своим ученикам на уроке ужасно длинные арифметические примеры. Это позволяло ему, пока дети корпят над заданиями, спокойно дремать или ковырять в носу.
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В царстве чисел обитают очень разные жители. Те, что лучше всего нам знакомы, называются натуральными числами. Это числа, с которыми мы знакомимся еще в детстве: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. К натуральным иногда относят и отрицательные числа: –1, –2, –3, –4… Они кажутся немножко странными, но в царстве чисел есть и куда более удивительные обитатели.
Однажды он задал своим ученикам сложить сто чисел. 1 + 2 + 3 + 4 + … и так далее до 100. Весь класс храбро принялся считать. 1 плюс 2 будет 3, плюс 4 — семь, плюс пять — 12… Только один мальчик не стал считать, как все: маленький Карл Фридрих, подумав пару секунд, записал на своей грифельной доске одно-единственное число и хлопнул ее на стол учителю со словами: «Вот и все!»
Учитель Бюттнер сначала протер глаза, а затем потер руки. Что такое? С чего этот малявка отважился дерзить? Он сурово взглянул на маленького Карла Фридриха, но тот только довольно улыбался в ответ. Когда закончится урок, решил герр Бюттнер, я научу маленького наглеца, как себя вести, парочкой ударов розог. Но когда в конце урока все ученики сдали свои работы, все получилось совсем не так, как представлял учитель. Он посмотрел ответы ребят, и на него напал сильнейший приступ кашля. Пока другие мучились с вычислениями и лишь немногие получили правильный ответ, Гаусс на своей доске написал одно-единственное число. Причем правильное. Что это, чудо?
Вовсе нет. Карл Фридрих Гаусс просто наглядно показал своему учителю разницу между арифметикой и математикой. Пока учитель и остальные ученики мучительно складывали все числа от 1 до 100 одно за другим, он подошел к заданию математически. Он заметил, что начальные числа образуют очень удобные пары с конечными. То есть 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98. Если так продолжать дальше, то получится 50 пар, дающих одинаковую сумму. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Теперь осталось только умножить в уме 101 на 50 и записать правильный ответ: 5050.
Конечно, маленький Карл Фридрих Гаусс и считать отлично умел. Каждый математик умеет выполнять основные арифметические действия. Но смысл математики состоит не в вычислениях. Математика — это по большей части поиск решений и описание принципов, стоящих за теми или иными задачами. А так как эти принципы нужно описывать очень точно, математики с удовольствием пользуются формулами. Просто так удобнее. Если бы мы захотели описать идею Гаусса обычными словами, нам понадобилось бы много места. Давайте попробуем. «Для того чтобы найти сумму ряда слагаемых, начинающегося с единицы и заканчивающегося сотней, каждый последующий член которого увеличивается на один, необходимо сложить попарно эти числа — первое с
