Это полный список триад чисел, произведение которых равно 72. Где-то в нем прячется ответ. Мы также знаем, что сумма возрастов равна номеру дома:
Переписчик видел номер дома, однако все равно не мог определить возраст детей. Почему? Если, например, номер дома равен, скажем, 18, то возраст становится очевидным — 1, 8 и 9. Однако невозможность определить правильную тройку чисел предположительно связана с тем, что есть две тройки чисел, дающие в сумме 14. Иначе говоря, у дома должен быть номер 14. Вместе с тем, как только респондент произнес слова «мой старшенький любит блинчики с черникой», переписчик понял, что один ребенок должен быть старшим. В этом случае возраст детей равен 3, 3 и 8, поскольку в тройке 2, 6 и 6 нет единственного старшего.
Обратите внимание на то, что блинчики с черникой на деле всего лишь отвлекающие слова. Ключом к решению задачи является слово «старшенький».
Задача 9.6
Сколько общих для двух окружностей касательных можно провести на рис. 9.1?
Обычный подход
Можно попробовать построить общие касательные и сосчитать их, однако нет никакой гарантии, что это будут все касательные, поскольку рисунок довольно обманчив.
Образцовое решение
Чтобы организованно подойти к решению этой задачи, нужно брать по две окружности за раз и учитывать все возможности.
Окружности A и B: 2 внешних касательных + 1 внутренняя;
Окружности A и C: 2 внешних касательных + 2 внутренних;
Окружности B и C: 2 внешних касательных.
Таким образом, суммарное количество общих касательных равно девяти. Задача легко решается путем учета всех возможностей.
Задача 9.7
Мария помогает отцу укладывать плитку на пол прямоугольной комнаты для игр. Всего у них ушло ровно 2005 квадратных плиток двух цветов — черного и белого. Периметр в одну плитку шириной был полностью черным. Остальная плитка имела белый цвет. Сколько белых плиток потребовалось, чтобы покрыть пол?
Обычный подход
Если сделать рисунок, то мы получим два прямоугольника, как показано на рис. 9.2. Если размеры внутреннего прямоугольника x и y, то ширина внешнего равна x + 2, а длина — y + 2.
Естественная реакция — представить полученную информацию алгебраически в форме уравнения:
(x + 2) (y + 2) = 2005.
Выполнив умножение и упростив это уравнение, мы получим:
xy + 2y + 2x + 4 = 2005;
xy + 2y + 2x = 2001.
Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными, и нам нужно найти xy. Это тупик, а не решение.
Образцовое решение
Подойдем к имеющейся информации с другой стороны и рассмотрим все возможности. Количество плиток, 2005, можно разложить на множители только двумя путями: либо 1 × 2005, либо 5 × 401. Это дает два возможных размера искомого прямоугольника. Первую ситуацию можно отбросить, поскольку при ширине в одну плитку для белых плиток места нет. Следовательно, в игровой комнате должно быть 5 × 401 плиток. Поскольку снаружи выполнена «рамка» шириной в одну плитку, размеры внутреннего прямоугольника из белых плиток на две плитки меньше в каждом направлении. Если уменьшить каждое направление на две плитки, то количество белых плиток для внутреннего прямоугольника составит 3 × 399, или 1197. Таким образом, для покрытия пола было использовано 1197 белых плиток.
Задача 9.8
Даны целые числа от –100 до +100. Сколько таких чисел при возведении в квадрат имеют цифру 1 в разряде единиц?
Обычный подход
Естественная реакция — начать с выписывания всех целых чисел от 1 до 100. Затем их по очереди возводят в квадрат и подсчитывают те, у которых в конце стоит 1. Результат после этого удваивают, чтобы учесть числа от –1 до –100.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Единственными числами, квадраты которых могут иметь цифру 1 в разряде единиц, являются те, что оканчиваются на 1 или 9. Таким образом, существует всего 20 возможностей, а именно 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 и 99. Удвоив это количество, чтобы учесть все возможности в отрицательном диапазоне, мы получаем ответ — 40 целых чисел.
Задача 9.9
На рис. 9.3 показаны три грани куба. Если продолжить нумерацию на остальных гранях куба, то чему будет равна сумма номеров всех шести граней?
Обычный подход
Большинство людей замечают, что числа на гранях куба начинаются с 48 и 49. Чаще всего они просто продолжают числовой ряд и получают следующие номера на гранях: 48, 49, 50, 51, 52, 53. Поскольку номер третьей грани, а именно 52, присутствует в этой последовательности, некоторые останавливаются и дают в качестве ответа сумму перечисленных номеров — 303.
Образцовое решение
Вместе с тем в приведенном выше решении учтены не все возможности. Мы видим три грани из шести. Поскольку нам видны номера 48, 49 и 52, значит обязательно должны быть 50 и 51. Шестой номер, однако, может находиться на любом конце последовательности. Таким образом, существуют два варианта шестого номера — 47 или 53. Это дает две возможные суммы — 297 и 303.
Глава 10
Обоснованное предположение и проверка
Конечно, даже мысль о том, что в качестве стратегии решения задач можно использовать догадки, вызывает недоумение. В самом деле, может ли кто из нас вспомнить, чтобы учитель говорил кому-то, давшему нестандартный ответ: «Ты это знаешь или просто строишь догадки?» В некоторых книгах выдвижение предположений и их проверку называют методом «проб и ошибок», и это воспринимается более негативно. Добавление определения обоснованное в название метода должно успокоить вас и уверить в том, что это действительно эффективная и нередко очень полезная стратегия.
Мы пользуемся стратегией «предположение-и-проверка» на протяжении всей своей жизни. Например, на кухне мы делаем предположение о том, готово ли мясо в духовке, а потом с помощью специального термометра проверяем, правильно ли оно. Если нет, то мясо опять отправляется в духовку, а процесс «предположение-проверка» повторяется через некоторое время. Пытаясь найти конкретное место во время поездки на автомобиле, мы «предполагаем», что оно находится на определенной улице.
