Образцовое решение
Призовем на помощь нашу стратегию обоснованного предположения и проверки. Прежде всего, можно ограничить количество чисел, из которых делается выбор. При возведении в квадрат двузначное число дают числа от 4 до 9, поскольку квадраты 1, 2 и 3 — это однозначные числа, а квадраты 10, 11, …, 31 — трехзначные числа. Таким образом, мы можем выбирать из следующих квадратов: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Начиная с 16 проверим, пара каких квадратов образует при размещении рядом квадрат простого числа. Обратите внимание, если мы оцениваем 1625 (это не квадрат простого числа), то нам нужно оценить и 2516 (тоже не квадрат простого числа). Чтобы выдвинуть обоснованное предположение, нужно в пару к 16 поставить оставшиеся двузначные числа. Если взять пару 16 и 81, то мы получим число 1681, равное 412. Макс и Сэм выбрали в качестве своих номеров числа 4 и 9.
Обратите внимание на то, что числа 3 и 4 тоже работают, так как 32 = 9, а 42 = 16. При размещении рядом друг с другом эти квадраты дают число 169, которое является квадратом простого числа. Однако в условиях задачи говорится о четырехзначном числе, так что этот ответ исключается.
Задача 10.8
Лайза получила на неделю задание решить 26 арифметических задач. Чтобы заинтересовать ее, отец обещал выдавать ей по 8 центов за правильно решенные задачи и вычитать по 5 центов за неправильно решенные. После выполнения задания Лайза обнаружила, что отец не должен ей ничего, но и она ничего не должна. Сколько задач Лайза решила правильно?
Обычный подход
Эту задачу позволяет решить обычный алгебраический подход.
Пусть x обозначает количество правильно решенных задач, а y — количество неправильно решенных задач.
Тогда:
8x — 5y = 0;
x + y = 26.
Из первого уравнения получаем, что 8x = 5y и
Подстановка значения x во второе уравнение дает:
Лайза решила правильно 10 задач и неправильно 16 задач.
Образцовое решение
Те, кто не умеет решать системы из двух уравнений с двумя неизвестными, могут попробовать найти ответ с помощью стратегии обоснованного предположения и проверки. Результаты лучше представлять в табличной форме. Начнем с середины — 13 правильных решений и 13 неправильных.
Лайза решила правильно 10 задач и неправильно 16 задач.
Табличное представление результатов делает ответ очевидным. Обратите внимание на то, что предположения не выдвигаются наобум. Мы начинаем в середине и движемся вверх или вниз по одному предположению за раз. Поскольку первое предположение значительно выше искомого ответа, мы уменьшаем количество правильных решений на 1 и увеличиваем количество неправильных на 1 за раз, уменьшая сумму на 13 центов.
Задача 10.9
В США существуют монеты следующего достоинства: 1 цент, 5 центов, 10 центов, 25 центов, 50 центов (есть даже монета $1). Какое наименьшее количество монет необходимо, чтобы составить любую сумму от 1 цента до $1?
Обычный подход
Один из подходов — это взять какое-то количество монет каждого достоинства и попытаться найти наименьшее их число, которое позволяет составить любую сумму от 1 цента до $1. Другими словами, реально выполнить необходимые действия. Некоторые пытаются пойти обратным путем и начинают с двух 50-центовых монет. Ни тот ни другой подход нельзя назвать рациональным.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией обоснованного предположения и проверки. Очевидно, что нам понадобятся четыре одноцентовых монеты для получения сумм величиной до 4 центов. Добавив одну пятицентовую монету, мы можем получить любую сумму от 1 цента до 9 центов. Добавление 10-центовой монеты позволяет составить суммы величиной до 19 центов. Еще одна 10-центовая монета делает доступными суммы до 29 центов. Одна 25-центовая монета позволяет составить все суммы до 54 центов. Наконец, одна 50-центовая монета расширяет диапазон доступных сумм до $1. Нам необходимы девять монет следующих достоинств:
1 цент, 1 цент, 1 цент, 1 цент, 5 центов, 10 центов, 10 центов, 25 центов, 50 центов.
Для проверки полученного ответа можно выбрать наугад несколько сумм и попробовать составить их с помощью наших девяти монет. Например, чтобы составить сумму 73 цента, нам потребуются монеты 50 центов, 10 центов, 10 центов и три по 1 центу.
Задача 10.10
Древние египтяне были выдающимися математиками. Пирамиды и многие построенные ими храмы наглядно подтверждают это. Они одними из первых стали пользоваться дробями и представляли их в виде суммы долей единицы. (Доля единицы — это дробь, в числителе которой находится 1.) Так,
Как древние египтяне записали бы дробь?
Обычный подход
Традиционно выписывают различные доли единицы, находят их общий знаменатель и суммируют, чтобы подобрать подходящий набор долей. Ответ практически невозможно получить, если действовать беспорядочно. Количество возможностей здесь почти бесконечно.
Образцовое решение
Простое тыканье наугад редко дает результат. Обоснованное предположение и проверку можно использовать организованно. Проанализируем приведенные выше примеры.
Прежде всего, обратите внимание на то, что все знаменатели долей единицы являются множителями исходного знаменателя. В первом случае знаменатели 2 и 3 являются множителями исходного знаменателя 6. Значит у искомых долей единицы в знаменателе должны стоять множители числа 28. Кроме того заметьте, что доли единицы идут в порядке убывания — впереди стоит наибольшая доля, за ней идет следующая по величине и т. д. Очевидно, что наибольшая доля единицы это Если в качестве возможных знаменателей использовать множители числа 28, то следующей величине долей единицы будет При сложении этих долей мы получим: Нам, однако, нужно еще чтобы получить в сумме Таким образом, искомая сумма единичных долей равна:
Использованный здесь метод подходит для дробей, знаменатель которых представляет собой составное число. Если знаменатель — простое число, то для решения задачи нужна другая процедура.
