Задача 10.3
Найдите наименьшее простое число, превышающее 510. (Напомним, что простым называют такое число, которое делится только на 1 и на само себя.)
Обычный подход
Поскольку в задаче требуется найти наименьшее простое число, превышающее 510, мы будем, начиная с 511, брать число и пробовать разные делители в порядке возрастания вплоть до его половины. Если ни один из этих возможных делителей не подойдет, значит мы нашли простое число.
Образцовое решение
Воспользуемся стратегией обоснованного предположения и проверки для сужения диапазона возможных вариантов. Мы знаем, что число, превышающее 510, не может быть простым, если у него в конце стоят цифры 0, 2, 4, 5, 6 или 8. Кроме этого вспомним, что число, сумма цифр которого делится на 3, тоже делится на 3. Это позволяет отбросить некоторые числа, превышающие 510, например число 513. Таким образом, мы ограничиваем предположения числами 511, 517, 521 и т. д. В результате проверки следующим за 510 простым числом оказывается 521.
Задача 10.4
В эстафетном забеге на одну милю участвует команда в составе: Густав, Йохан, Ричард и Вольфганг. Они бегут свой четвертьмильный этап в том порядке, в котором перечислены. Каждый бегун проходит свой этап на 2 секунды быстрее предыдущего. Они финишируют с общим временем 3 минуты 40 секунд. За сколько каждый бегун пробежал свой этап?
Обычный подход
Применив несложные алгебраические вычисления, можно решить задачу следующим образом:
x = время, за которое свой этап пробежал Густав;
x — 2 = время, за которое свой этап пробежал Йохан;
x — 4 = время, за которое свой этап пробежал Ричард;
x — 6 = время, за которое свой этап пробежал Вольфганг.
x + (x — 2) + (x — 4) + (x — 6) = 220
(3 минуты 40 секунд = 220 секунд);
4x — 12 = 220;
4x = 232;
x = 58.
Густав пробежал свой этап за 58 секунд, Йохан — за 56 секунд, Ричард — за 54 секунды, Вольфганг — за 52 секунды.
Образцовое решение
Конечно, это решение зависит от знания алгебраических методов. Вместе с тем задачу можно решить с помощью стратегии обоснованного предположения и проверки. Предположим, что бегуны прошли дистанцию примерно с одинаковой скоростью. Если так, то можно разделить 220 на 4 и получить 55 в качестве первого предположения.
Таким образом, Густав пробежал свой этап за 58 секунд, Йохан — за 56 секунд, Ричард — за 54 секунды, Вольфганг — за 52 секунды.
Задача 10.5
В коробке у Дэна находятся почтовые марки стоимостью 13 и 8 центов. Отправка посылки, которую он приготовил, стоит ровно $1. Сколько марок каждого достоинства Дэн должен наклеить на посылку?
Обычный подход
Можно попробовать решить эту задачу алгебраически. Если обозначить как x количество 13-центовых марок и как y количество 8-центовых марок, то мы получим следующее уравнение:
0,13x + 0,08y = 1,00.
Если перевести все в центы, то уравнение приобретет вид:
13x + 8y = 100.
Это, однако, уравнение с двумя неизвестными, а значит ответов может быть несколько. Поскольку количество марок должно быть целым числом, нам нужно решить диофантово уравнение.
Для начала выразим y через x: После деления и выделения целых величин и остаточных членов, а затем объединения остаточных членов мы получаем:
Дробная часть должна быть целым числом, поскольку количество марок не может быть дробным. Выберем какое-нибудь значение для x, при котором дробная часть превращается в целое число. Пусть x = 4. Тогда y = 12 − 4 + (–2), или y = 6.
Дэн, таким образом, должен использовать шесть 8-центовых марок и четыре 13-центовых марки. (Но все ли это возможности? Можно ли найти все возможные ответы?)
Образцовое решение
Более изящное решение дает использование нашей стратегии обоснованного предположения и проверки в сочетании с табличным представлением результатов.
Таким образом, четыре 13-центовых марок и шесть 8-центовых марок дают сумму $1, необходимую Дэну. Обратите внимание на то, что таблица ясно показывает отсутствие других вариантов.
Задача 10.6
Разница между двумя положительными целыми числами равна 5. Если сложить их квадратные корни, то сумма также будет равна 5. Что это за целые числа?
Обычный подход
Традиционный подход — это составление системы уравнений:
Пусть x = первое целое число;
Пусть y = второе целое число.
Тогда:
Возведем обе стороны в квадрат:
Упростим полученное выражение:
Снова возведем обе стороны в квадрат:
4x2 + 20x = 4x2 — 80x + 400;
100x = 400;
x = 4;
y = 9.
Два целых числа — 4 и 9.
Образцовое решение
Традиционный подход требует умения решать уравнения с радикалами и связан с большим количеством алгебраических преобразований. В качестве альтернативы воспользуемся нашей стратегией обоснованного предположения и проверки. Поскольку сумма квадратных корней из двух целых чисел равна 5, квадратные корни этих чисел должны представлять собой 4 и 1 или 3 и 2. Таким образом, целые числа должны быть равными 16 и 1 или 9 и 4. Вместе с тем, если взять разность, которая равна 5, становится понятно, что правильный ответ — 9 и 4.
Задача 10.7
Тренер футбольной команды разрешает игрокам самостоятельно выбрать номер, под которым они выйдут на поле. Макс и Сэм, которые не только играют в футбол, но и входят в состав математической команды, останавливаются на особой паре номеров. Когда их номера возводят в квадрат, они дают двузначные числа. Когда два футболиста стоят рядом, образующееся из этих квадратов четырехзначное число также является квадратом простого числа. Какие номера они выбрали?
Обычный подход
Большинство людей берут числа 1, 2, 3, 4, 5, … и возводят их в квадрат, пытаясь найти те, которые дают двузначный квадрат. Затем они помещают эти квадраты рядом друг с другом и смотрят, какие из них образуют квадрат простого числа. Такое гадание нельзя назвать продуктивным.
