Стратегии решения математических задач

1) × n.

Обычный подход

Как правило, при решении такой задачи возникает желание определить значение каждого факториала, а затем сложить полученные значения и получить S. Помимо того, что это скучное занятие, оно еще чревато арифметическими ошибками.

Образцовое решение

Если проанализировать числовой ряд, составляющий S, и упростить его, то мы получим следующее:

S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 × 5 + … + 98! + 99!

S = 1 + 2 + 6 + 24 + 10k, где k — натуральное число.

Мы представили члены числового ряда, начиная с 5! как 10k, поскольку 5! предполагает наличие множителя 10. Любое число, кратное 5! будет кратно 10. Так как 6! кратно 5! а 7! кратно 6! то факториал любого n, превышающего 5, будет кратен 10. Таким образом, в разряде единиц будет находиться 0.

Глава 2

Распознавание закономерности

Одной из чудесных сторон математики является возможность выявления закономерностей в решаемых задачах. Известный математик Уолтер Сойер как-то заметил, что математику вполне можно представить, как процесс поиска закономерностей. Одно из самых распространенных применений математики — предсказание того, что происходит регулярным образом. Например, сколько пшеничных лепешек потребуется для трех человек? А для четырех? Для 10 человек? Для n человек?

Умение распознавать закономерности очень важно для решения задач. Выявив закономерность в результате анализа ряда конкретных примеров, вы можете обобщить ее и превратить в более широкое решение. Например, когда просят назвать следующие два числа в ряду 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, __, __, мы должны проанализировать ряд, чтобы понять, есть ли в числах какая-либо закономерность. В конце концов, если первые три члена это 1, 2, 3, то разве не 4 должно идти за ними? А вот и нет! Мы замечаем, что каждый член после третьего представляет собой сумму трех предшествующих чисел. (Это последовательность типа Фибоначчи.) Иначе говоря, 1 + 2 + 3 = 6, 2 + 3 + 6 = 11, 3 + 6 + 11 = 20 и т. д. Если продолжить ряд таким образом, то следующими двумя числами будут 11 + 20 + 37 = 68 и 20 + 37 + 68 = 125.

Даже маленькие дети пользуются закономерностями. Когда малыши начинают ходить в школу, они учатся считать. Закономерности помогают им вести счет единицами, потом двойками, пятерками и т. д. Если задать второкласснику вопрос, какое число будет следующим в ряду 3, 6, 9, 12, …, он спросит себя: «Сколько мне нужно прибавить к каждому числу, чтобы получить следующее?» Это практически естественное использование стратегии поиска закономерности.

Большинство из нас широко пользуются закономерностями в повседневной жизни. Некоторые из этих «закономерностей» требуют мнемонического подхода. Слово «мнемонический» происходит от древнегреческого слова mnemonikos, означавшего запоминающее устройство. Многие из нас знакомы с мнемоническим правилом запоминания порядка цветов в спектре «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан» (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый). Мы используем закономерности для запоминания кода замка шкафчика в раздевалке спортивного зала, телефонного номера и номерного знака автомобиля. В поисках дома с определенным номером мы почти интуитивно ожидаем увидеть нечетные номера на одной стороне улицы, а четные на другой — простая, но очень ценная закономерность.

Закономерности широко используются полицией. Если происходит серия преступлений, то следователь ищет стиль поведения преступников (modus operandi).

Врач обычно смотрит на характер поведения человека, чтобы определить его заболевание. Имея за плечами опыт лечения болезней, он распознает закономерные проявления недуга.

Эффективность стратегии распознавания закономерностей видна яснее всего на конкретных примерах, особенно когда не очевидно, что эту стратегию можно использовать для решения данной задачи. Допустим, вас просят найти цифру в разряде единиц у числа, представленного как 13²³. Наиболее очевидный подход — взять калькулятор и возвести 13 в 23-ю степень. Однако это сложная задача, даже если есть калькулятор, способный воспроизвести количество разрядов такого огромного числа. Вместо этого можно проанализировать результаты возведения числа 13 в степень в порядке возрастания показателя и посмотреть, не образуют ли последние цифры какую-либо закономерность, помогающую дать ответ.

Похоже, при возведении числа 13 в степень последняя цифра образует ряд:

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, …

Изменения происходят с периодом 4. Таким образом, число 13²³ будет иметь ту же цифру в разряде единиц, что и 13³, т. е. 7.

Фактически эта задача высвечивает интересный вопрос в отношении закономерностей. Можно ли утверждать, что при возведении всех чисел в степень цифра в разряде единиц изменяется циклически? Некоторые числа можно назвать сразу. Например, 5 в любой степени будет иметь в конце 5 (5, 25, 125, 625, …). Такое свойство чисел очень интересно и ценно для решения задач путем распознавания закономерности. Попробуйте определить закономерность изменения цифры в разряде единиц при возведении в степень других чисел.

Следует, однако, предостеречь читателей. Иногда случается, что закономерность вроде бы есть, но не вполне стабильная. Например, кажется, что любое нечетное число, начиная с 3, можно представить, как сумму 2 в той или иной степени и нечетного числа. При попытке проверить это практически оказывается, что данное «правило» выполняется вплоть до числа 125. Как ни странно, но оно не действительно для следующего нечетного числа 127. Таким образом, применять стратегию распознавания закономерности для решения задач следует с осторожностью. Впрочем, это всего лишь исключение, которое не должно удерживать вас от использования данного метода.

3 = 2⁰ + 2

5 = 2¹ + 3

7 = 2² + 3

9 = 2² + 5

11 = 2³ + 3

13 = 2³ + 5

15 = 2³ + 7

17 = 2² + 13

19 = 2⁴ + 3

и так далее

51 = 2⁵ + 19

и так далее

125 = 2⁶ + 61

127 =?

129 = 2⁵ + 97

131 = 2⁷ + 3.

Перейдем теперь к задачам, которые наиболее эффективно решаются путем распознавания закономерности, особенно когда такая закономерность не очевидна.

Задача 2.1

Какая цифра находится в разряде единиц у числа, где — это показатели степени?

Обычный подход

К сожалению, находятся люди, которые полагают, что для определения значения этого числа нужно последовательно возвести основание в степень вплоть до последнего показателя. Такой подход не может