Стратегии решения математических задач

быть успешным!

Образцовое решение

Попробуем выяснить, существует ли какая-то закономерность в числах по мере повышения показателя степени в соответствии с условиями задачи. По мере повышения показателя основания 2 цифры в разряде единиц изменяются в последовательности 2, 4, 8, 6.

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256.

Результат на третьей ступени наших вычислений ниже кратен 4, а любой результат возведения 2 в степень, кратный 4, дает число, у которого в разряде единиц стоит 6.

Таким образом, у нашего числа в разряде единиц находится цифра 6.

Задача 2.2

В каждой приведенной ниже прямоугольной решетке содержится определенное количество точек. Сколько точек будет на рис. 49?

Обычный подход

Очевидный подход — это последовательное построение решеток вплоть до рис. 49, в котором можно подсчитать точки. Это займет много времени и потребует огромного терпения, не говоря уже о количестве бумаги. Вместе с тем наверняка должен существовать более практичный подход к решению этой задачи.

Образцовое решение

Попробуем организовать данные и поискать закономерность. Перенесем в таблицу то, что нам уже известно.

Ну вот и закономерность. Высота на 2 больше номера рисунка, а ширина на 1 больше номера рисунка. Для рис. n мы получаем:

Таким образом, на рис. 49 будет 51 × 50 = 2550 точек.

Задача 2.3

Круг можно разделить на семь частей с помощью трех прямых линий. Какое максимальное количество частей можно получить при делении круга с помощью семи прямых линий?

Обычный подход

Обычно при решении этой задачи берут круг и проводят через него семь линий так, чтобы любые три из них не пересекались, т. е. не имели общей точки. Если проделать такую операцию аккуратно, то она должна привести к правильному ответу. Вместе с тем определение максимально возможного количества частей может быть сложным.

Образцовое решение

При решении этой задачи интересно посмотреть, не проявится ли какая закономерность при увеличении количества линий, делящих круг на части, при условии, что никакие три из них не должны иметь общей точки. Понятно, что одна линия делит круг всего на две части. Две линии позволяют разделить круг на четыре части. В таблице ниже показано количество частей, на которые можно разделить круг с помощью заданного количества линий, ни одна тройка которых не имеет общей точки.

Закономерность, похоже, наблюдается в разнице, которая увеличивается каждый раз на единицу. Таким образом, протестировав следующий вариант, в котором пять линий предположительно дают 16 частей, мы можем, по всей видимости, составить на основе выявленной закономерности следующую таблицу.

Итак, с помощью семи линий можно разделить круг на 29 частей.

Задача 2.4

Нам дают карту с направлениями движения вдоль улиц, как показано на рис. 2.1.

Сколько существует маршрутов из точки A в точку L?

Обычный подход

Самый очевидный подход — просто подсчитать возможные маршруты. Иными словами, определять маршруты по одному за раз и суммировать результаты. Например, один маршрут — это A-B-C — D-E-F-G-H-I-J-K-L, другой — A-C-D-E-G-K-L и т. д. Вместе с тем, как вы видите, такой путь довольно громоздок, и к тому же при его использовании трудно избежать дублирования маршрутов. А вариантов здесь порядочно!

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией поиска закономерности. Допустим, мы хотим попасть из точки A в точку B. Здесь имеется только один маршрут (A-B). В точку C можно добраться из точки A уже двумя путями (A-B-C и A-C). Из точки A в точку D существуют три маршрута, а именно (A-B-D, A-C-D, A-B-C-D). Если продолжить подсчет таким образом, то мы получим следующее количество маршрутов в каждую точку вплоть до точки F.

Они показаны на рис. 2.2.

Числовой ряд 1, 2, 3, 5, 8, 13 — это последовательность Фибоначчи, которую в западном мире впервые представил Леонардо Пизанский (известный так же, как Фибоначчи) в 1202 г. В начале такой последовательности стоят 1 и 1, а последующие числа получаются как сумма предыдущих двух. Если продолжить эту последовательность до точки L, то мы получим следующее:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Таким образом, используя эту закономерность, мы находим, что из точки A до точки L можно добраться 144 маршрутами.

Задача 2.5

Джонни берет лист бумаги из записной книжки и разрывает его пополам, а затем кладет получившиеся части одну на другую и еще раз разрывает их пополам. Обрывки он опять складывает и рвет пополам. Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз, то какой толщины будет стопка обрывков? (Будем считать, что толщина листа бумаги 0,0254 мм.)

Обычный подход

Можно нарисовать таблицу и подсчитать результаты для каждого действия.

И так далее. В конечном итоге можно заполнить таблицу для всех 20 делений и найти ответ.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией поиска закономерности для решения этой задачи. После 1-го деления в стопке будет 2 слоя бумаги, после 2-го деления — 4 слоя, после 3 деления — 8 слоев. В экспоненциальной форме количество слоев можно представить, как 2¹, 2², 2³, …, или 2ⁿ в общем виде. После 20 делений толщина стопки составит 0,0254 × 2²⁰, или около 26 645 мм, что составляет примерно 26,6 м. Вот почему в задаче говорится: «Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз».

Задача 2.6

Сколько квадратов всех размеров на стандартной шахматной доске размером 8 × 8 клеток?

Обычный подход

Первой реакцией будет ответ 8 × 8 = 64 квадрата, однако слова «всех размеров» говорят о том, что могут существовать и другие ответы. Математический подход предполагает подсчет количества квадратных областей всех размеров на шахматной доске с 64 клетками, т. е. 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 и т. д. Это неудобно и довольно трудно, поскольку перекрывается множество клеток. К тому же в процессе подсчета легко сбиться, так что такой метод скучен и проблематичен.

Образцовое решение

Попробуем применить стратегию поиска закономерности в сочетании с таблицей для организации данных. Если начать с доски размером 1 клетка на 1 клетку, то,