Один из интересных подходов к проблеме континуума состоит в замене вещественных чисел математической структурой, которая имитирует континуум, сохраняя вычислимость, — например алгебраическими числами. Другой подход (он кажется мне перспективнее) состоит в том, чтобы перестать рассматривать континуум в качестве фундаментальной структуры и попробовать относиться к нему как к аппроксимации. Я уже отмечал, что физики никогда ничего не измеряли с точностью более 16 значащих цифр, и нет эксперимента, исход которого зависел бы от гипотезы существования истинного континуума или от способности природы вычислять нечто невычислимое. Поразительно, но многие основанные на континууме модели классической математической физики (например уравнения, описывающие волны, диффузию или течение жидкости) являются не более чем аппроксимацией лежащего в основе поведения совокупностей дискретных атомов. Исследования в области квантовой гравитации указывают на то, что даже классическое пространство-время на очень малых масштабах распадается. Таким образом, нет уверенности, что величины, с которыми мы обращаемся как с непрерывными (вроде пространства-времени, напряжённости поля, амплитуды квантовой волновой функции), не являются лишь аппроксимациями чего-то дискретного. На самом деле некоторые дискретные вычислимые структуры (и даже финитные, удовлетворяющие ГФВ) могут аппроксимировать континуальную физическую модель настолько хорошо, что физики применяют их, когда нужно выполнить практические вычисления, оставляя открытым вопрос о том, что ближе к математической структуре Вселенной — первое или второе. Некоторые исследователи, например Конрад Цузе, Джон Барроу, Юрген Шмидхубер и Стивен Вольфрам, зашли по этому пути настолько далеко, что предполагают и вычислимость, и финитность законов природы, подобно клеточным автоматам или компьютерным моделям. Отмечу, однако, что эти предположения отличаются от ГВВ и ГФВ тем, что требуют вычислимости эволюции во времени, а не просто описания (отношений) структуры.
Ещё один поворот. Физики нашли примеры того, как нечто непрерывное (вроде квантовых полей) может порождать дискретное решение (вроде кристаллической решётки), которая, в свою очередь, кажется похожей на непрерывную среду в больших масштабах, и при этом подвержена колебаниям, которые ведут себя как дискретные частицы, называемые фононами. Мой коллега из МТИ Вэнь Сяоган показал, что «эмерджентные» частицы могут даже вести себя, как частицы в нашей Стандартной модели. Это открывает возможность существования множества слоёв эффективно непрерывных и дискретных описаний, надстроенных над дискретной вычислимой структурой в основании.
Трансцендентная структура IV уровня
Выше мы рассмотрели тесную взаимосвязь математических структур с вычислениями, при которой первые определяются вторыми. С другой стороны, вычисления — не более чем частный случай математических структур. Так, информационное содержание (состояние памяти) цифрового компьютера — эта строка битов (скажем, 1 001 011 100 111 001…) большой, но конечной длины, эквивалентная некоему большому, но конечному целому числу n, записанному в двоичной системе. Обработка информации в компьютере — это детерминистическое правило изменения каждого состояния памяти на другое (применяемое снова и снова). Так что математически это просто отображающая целые числа на себя функция f, которая многократно применяется: n f(n) f(f(n)) … Иными словами, даже самая сложная компьютерная модель — это не более чем частный случай математической структуры, а значит, она включается в мультиверс IV уровня.
На рис. 12.6 показано, как вычисления и математические структуры связаны не только друг с другом, но также с формальными системами — абстрактными символическими системами аксиом и правил вывода, которые математики применяют для доказательства теорем о математических структурах. Прямоугольники на рис. 12.1 соответствуют таким формальным системам. Если формальная система описывает математическую структуру, то говорят, что последняя является моделью первой. Более того, вычисления могут порождать теоремы в формальных системах (для некоторых классов формальных систем существуют алгоритмы, способные вычислить все теоремы).
На рис. 12.6 также показано, что во всех трёх вершинах треугольника потенциально существуют проблемы: отношения в математических структурах могут быть неопределёнными, формальные системы могут содержать неразрешимые утверждения, а вычисления могут не останавливаться после конечного количества шагов. Отношения между тремя вершинами и соответствующими трудностями обозначены шестью стрелками, смысл которых я подробно объяснил в статье 2007 года о математической Вселенной. Поскольку разные стрелки изучаются специалистами из разных областей — от математической логики до информатики, — исследование этого треугольника как целого является междисциплинарным. Я думаю, оно заслуживает большего внимания.
Рис. 12.6. Стрелки обозначают тесные взаимосвязи между математическими структурами, формальными системами и вычислениями. Вопросительный знак указывает на то, что всё это аспекты одной трансцендентной структуры, природу которой мы до конца пока не понимаем.
В центре треугольника я поставил вопросительный знак. Он указывает на предположение, что три вершины (математические структуры, формальные системы и вычисления) являются просто аспектами одной лежащей в основе трансцендентной структуры, природу которой мы пока понимаем не до конца. Эта структура — возможно, ограниченная до определённой (разрешимой, останавливающейся) части, как в ГВВ, существует где-то в свободном от «багажа» виде и являет собой всю полноту математического и физического существования.
Следствия существования мультиверса IV уровня
В этой главе мы смогли показать, что фундаментальная физическая реальность является мультиверсом IV уровня, и начали разбирать его математические свойства. Теперь займёмся его физическими свойствами, а также следствиями, вытекающими из самой идеи мультиверса IV уровня.
Симметрии и не только
Если взять конкретную математическую структуру из нашего списка, служащего атласом мультиверса IV уровня, то как вывести физические свойства, которые будут восприниматься находящимся в ней самосознающим наблюдателем? Иными словами, каким образом бесконечно разумный математик, начав с математического определения структуры, выводит физические свойства, которые мы в гл. 9 назвали «консенсусной реальностью»?[85]
В гл. 10 мы показали, что его первым шагом стало бы вычисление того, какими симметриями обладает математическая структура. Свойства симметрии относятся к числу тех немногих типов свойств, которыми обладает любая математическая структура, и они могут для обитателей данной структуры проявляться как физические симметрии.
По большому счёту, вопрос о том, что именно наш математик, исследуя произвольную структуру, должен далее вычислить, неясен. Но меня удивляет, что в конкретной математической структуре, которую мы населяем, дальнейшие исследования её симметрий привели поистине к золотой жиле. Эмми Нётер в 1915 году доказала, что каждая непрерывная симметрия нашей математической структуры приводит к так называемому закону сохранения в физике, то есть к тому, что некоторая величина гарантированно остаётся неизменной и возникает постоянство, которое может быть замечено самосознающими наблюдателями и получить у них «багажное» название. Все сохраняющиеся величины, которые мы обсуждали в гл. 7, соответствуют таким симметриям. Например, энергия соответствует симметрии относительно переноса во времени (то есть тому, что законы физики остаются всегда одинаковыми), импульс соответствует симметрии переноса в пространстве (тому, что законы остаются одинаковыми везде), угловой момент соответствует вращательной симметрии (тому, что пустое пространство не имеет выделенного направления «верх»), а электрический заряд соответствует определённой симметрии в квантовой механике. Венгерский физик Юджин Вигнер обнаружил, что эти симметрии также диктуют
