или соломинку, пузырьки тут же начнут образовываться снова.
Обратимся теперь к росту кристаллов. Но прежде нам придется еще раз вернуться к Платоновым телам. Мы уже однажды установили, что все они принадлежат кубическим классам симметрии. Открытым остался вопрос о том, как возникают отдельные грани. Представьте себе мысленно куб, или гексаэдр, как говорил Платон. Потом возьмите (тоже мысленно) острый нож и обрежьте все восемь его вершин. На кубе появятся треугольные грани. Будем увеличивать их размеры, последовательно отрезая новые параллельные плоские ломтики. Соответственно площадь прежних граней будет становиться все меньше и меньше, пока наконец совсем не исчезнет. Куб превратится в октаэдр. Можно провести и обратный эксперимент - снова сделать из октаэдра куб, мысленно уменьшая площади треугольных граней. Очевидно, что на любой стадии такого преобразования плоскости симметрии сохраняют свое положение.
Рассмотрим для контроля плоскости, проходящие через грань куба. Их всего четыре. Две из них делят стороны (ребра) пополам, другие две совпадают с диагоналями квадрата.
Грань куба в октаэдре свелась к точке, но четыре плоскости симметрии остались при этом неизменными. Можно сказать, что в принципе в кубическом кристалле всегда присутствуют кубические и октаэдрические грани. Какая из этих граней появится на реальном кристалле, зависит от соотношения скоростей их роста. Ведь грань кристалла может расти только в том направлении, откуда поступает строительный материал.
Давайте-ка рассмотрим три грани: две кубические и одну октаэдрическую. Допустим, что грань куба растет вдвое быстрее, чем грань октаэдра. То, что грани куба оказываются в более благоприятном положении, на самом деле лишь допущение. В действительности все может оказаться совершенно по- другому. Ну а при сделанном нами допущении многие, вероятно, подумают: раз кубические грани растут быстрее, значит, образуется куб. Однако это очень далеко от истины. Хотя грани куба будут делаться «толще», их размер станет уменьшаться, пока они в конце концов не исчезнут совсем, уступив место грани октаэдра. Чем медленнее она будет расти, тем сильнее окажется развита на кристалле.
Существуют различные теории относительно того, почему частицы на гранях одной ориентировки осаждаются охотнее, чем на гранях другой. Но во всех случаях не следует забывать, что мельчайшие частицы отдают предпочтение углам и выступам. По этой причине они склонны наращивать «толщину» граней, имеющих не вполне гладкую поверхность. Если частицы осаждаются на неровной поверхности, ее неровности перемещаются. Одной из возможных неровностей мог бы явиться маленький поверхностный дефект спиральной формы. В процессе осаждения частиц спираль продолжает расти. Подобные спирали действительно обнаружены на некоторых кристаллах. При растворении кристаллов образование граней происходит соответственно в обратном отношении к скорости: чем быстрее удаляется материал с грани, тем она становится больше.
Одно дополнительное замечание. Вы можете встретить в учебниках такие обозначения: (100) - для кубических и (111) - для октаэдрических граней. Если даже отыскать в справочнике эти числа («индексы Миллера»), то запомнить, что они означают, не так-то просто. Рекомендуем заметить себе: грань куба пересекает одну из трех осей прямоугольной системы координат (1), а обе другие не пересекает (00). Грань октаэдра пересекает все три оси (111).
ОСНОВНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА СИММЕТРИИ
Как разделить отрезок пополам.
Как разделить угол пополам.
Как восстановить перпендикуляр в заданной точке.
Как опустить перпендикуляр из задней точки.
Как провести параллельную прямую.
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ПРОДАВЦОВ ФРУКТОВ
Яблоки, апельсины, грейпфруты, лимоны - излюбленные декоративные элементы оформления витрин. Для привлечения покупателей из них обычно выкладывают красочные плоские фигуры или пирамиды. Для выкладки плоских фигур могут использоваться и более мягкие фрукты и овощи - такие, как персики или помидоры.
В самом простом случае продавец фруктов или овощей ставит в витрину ящик с помидорами или персиками. Оценим наметанным глазом, соотносятся ли длины сторон ящика как 1: v 2. «Фруктовый товар» прибывает из самых различных стран, поэтому ящики неодинаковы по величине. И все же вид этих ящиков тем привлекательнее, чем ближе их пропорции к идеальному соотношению.
Затем нас будет интересовать степень использования объема при упаковке. Цитрусовые поступают обычно с Балкан, из Африки или из других отдаленных южных краев. Перевозка их всегда стоит дорого. Поэтому фрукты должны быть упакованы не только хорошо (во избежание потерь), но и рационально, компактно (для сокращения транспортных расходов, чтобы не возрастали цены).
Возьмем ящики с помидорами. Простоты ради допустим, что все они имеют одинаково красивую форму и равную величину. Сделаем еще одно допущение - что стороны ящика имеют длину, кратную диаметру помидора. Потом возьмем и упакуем шары-помидоры так, чтобы они красиво улеглись в аккуратные прямые ряды, соприкасаясь между собой боками. В сущности говоря, упакованный подобным образом ящик сплошь состоит из квадратов, в которые вписаны круги. Площадь квадрата составляет 1Х1 = 1, если в качестве масштаба выбрать диаметр помидора. Площадь проекции помидора, напротив, равна лишь ? • 0,52 = 0,785. Соответственно площадь ящика использована для укладки помидоров только на 78,5%.
Однако на деле фрукты и овощи круглой формы бывают уложены иначе - не в прямые ряды, а в пустые гнезда. Первый ряд вдоль длинной стороны ящика касается этой стороны и прилегает к обеим ограничивающим его коротким сторонам. Пока все обстоит так же, как и в первом случае. Но второй ряд уложен в гнезда. Выигрыш очевиден и состоит в том, что помидоры теперь несколько сдвинулись кверху. Проигрыш заключается в появлении двух пустот справа и слева в конце ряда. Третий ряд, хотя и уложен тоже в гнезда второго, но представляет собой точное зеркальное отражение первого. Четвертый ряд снова отвечает второму и т. д. При укладке последнего ряда могут встретиться два случая: либо он окажется типа ряда 1, либо типа ряда 2. Во втором случае в ящик поместится на две половинки помидора меньше, чем в первом.
Возьмем фрагмент укладки из середины ящика. Приглядевшись, можно увидеть, что вокруг каждого кружка (помидора) располагаются шесть других кружков. Отдельные помидоры уже не вписываются в квадрат, вершина которого соприкасается с вершинами других (мысленных) квадратов, но никак не с помидорами. И четыре помидора вместе тоже не образуют квадрата: в наименьшую структурную единицу этой укладки входит всякий раз по 1/6 площади каждого из трех кругов, окружающих маленький участок свободной поверхности. Сопоставив их размеры, найдем, что степень использования площади при такой
