Поэтому при трех измерениях получается шесть направлений, два по каждому: по первому - вверх и вниз, по второму - налево и направо и по третьему - вперед и назад.
147
Они, кроме того, утверждают, что из движения точки возникает линия, из движения линии - поверхность и из движения поверхности - твердое тело. В связи с этим они, употребляя общее описание, говорят, что точка есть знак, не содержащий никаких частей и промежутков, или граница линии, линия - длина без ширины, или граница поверхности, поверхность же - граница тела, или ширина без глубины. Рассуждая по порядку, мы скажем сначала о точке, потом о линии, а после этого о поверхности и теле. Ведь с устранением этого и геометрия перестанет быть наукой, раз она не обладает тем, от чего зависит успех ее построения.
[3. ТОЧКА]
Итак, точка, которую они называют знаком, не содержащим никаких промежутков, мыслится или в качестве тела, или в качестве бестелесного [6]. Но телом она у них не может быть, поскольку то, что не имеет протяжения, не есть тело. Следовательно, остается, чтобы она была бестелесной. А это опять неубедительно. Ведь бестелесное не мыслится способным что-нибудь порождать, будучи как бы тем, к чему нельзя и прикоснуться. А точка мыслится способной порождать линию. Следовательно, точка не есть знак, не содержащий никаких промежутков.
Далее, если явление есть видение неочевидного [7], то, поскольку в области явлений невозможно воспринять точки и границы чего-нибудь, не имеющей размеров, ясно, что подобное не может быть допущено и в области мыслимого. Но, как я установлю, в области чувственного ничего нельзя воспринять без размеров. Поэтому нельзя [найти этого] и в области мыслимого. Действительно, все наблюдаемое в области чувственного как граница чего-нибудь и точка воспринимается вместе с тем и в качестве крайней точки чего-нибудь, и в качестве части того, чего она является крайней точкой. Если мы, например, отнимаем ее, то должно уменьшиться и то, от чего произошло отнятие. Но то, что является частью чего-нибудь, тем самым оказывается способным и восполнять его. А то, что способно восполнять что-нибудь, во всяком случае должно увеличивать его размер. И то, что способно увеличивать размер, то по необходимости
148
само обладает размером. Следовательно, всякая точка и крайний предел чего-нибудь в области чувственного, обладая известным размером, не является лишенным размеров. Вследствие этого если мы даже и мыслим предмет мысли на основании перехода от чувственного, то мы должны мыслить его вместе с тем и в качестве точки и предела линии, а вместе с этим и в качестве того, что способно его заполнять. Поэтому и оно обязательно должно обладать протяжением, будучи способно создавать протяжение.
И иначе. Они утверждают, что исходящая из центра прямая образует на плоскости круг вращением одного из своих концов. Это значит, что если конец данной прямой есть точка и если эта последняя в результате вращения отмеривает окружность, то она должна быть тем, что заполняет эту окружность. Но эта окружность во всяком случае обладает протяжением. Следовательно, и способная заполнить ее точка тоже должна обладать каким-то протяжением.
Далее, шар, как считают, касается плоскости в одной точке; и когда он катится, то он образует линию. Ясно, что линия образуется благодаря ниспадению точек, составляющих всю ее. Следовательно, если точка способна заполнить величину линии, то она и сама должна обладать величиной. Однако признано, что она есть то, что способно заполнить величину линии. Следовательно, она должна обладать и величиной и не быть лишенной размеров.
Однако Эратосфен [8], возражая против подобных аргументов, по своему обыкновению говорит, что точка не занимает никакого места и не отмеривает никаких отрезков линии, но что она создает линию своим движением. Этого, однако, невозможно себе представить. Ведь движение мыслится относительно того, что простирается от одного какого-нибудь места к какому-нибудь другому. Такова, например, вода. Если же мы будем представлять себе точку чем-то вроде этого, то получится, что она не может быть лишенной всяких частей, но что, наоборот, она обладает многими частями.
[4. ЛИНИЯ]
Вот что [можно сказать] о точке. Рассмотрим далее и то, что должно быть сказано о линии [9], поскольку она помещается после точки.
149
Итак, даже если согласиться, что какая-то точка существует, [все равно] линия не может существовать. Действительно, если она есть движение точки и длина без ширины, то она является или одной точкой, протянутой в длину, или многими точками, расположенными на известных расстояниях в виде ряда. Однако, как мы установим, она не есть одна точка, протянутая в длину, и, как мы укажем и на это, она не есть и множество точек, расположенных в виде ряда. Следовательно, линии не существует.
Действительно, если она есть одна точка, то сама эта точка или занимает только одно место, или передвигается с места на место, или протягивается с какого-нибудь одного места к какому-нибудь другому. Но если она заключена внутри одного места, то она будет не линией, но точкой, поскольку линия мыслится в движении. Если же она будет переходить с места на место, то она или переходит, как я выше сказал, оставляя одно место и занимая другое или держась за одно место и протягиваясь к другому. Но если она оставляет одно место и занимает другое, то она опять будет не линией, а точкой. Ведь на каком основании то, что занимает первое место, мыслится в качестве точки, а не линии, на том же основании и занимающее второе место должно мыслиться в качестве точки. А если она держится за одно место и протягивается к другому, то она протягивается или соответственно делимому месту, или неделимому. И если она протягивается по неделимому месту, то она опять будет не линией, а точкой, поскольку то, что занимает не содержащее частей место, и само не содержит таковых' а то, что не содержит частей, является точкой, а не линией. Если же [точка протягивается] по делимому [месту], то, поскольку делимое обязательно имеет части (раз оно протягивается по всему данному месту), а то, что имеет части, благодаря которым оно протягивается по частям данного места, есть тело, отсюда точка должна быть делимой и телом. А это нелепо. Поэтому линия не есть одна точка.
Однако она не есть и множество точек, расположенных в виде ряда. Действительно, эти точки мыслятся или взаимно соприкасающимися, или несоприкасающимися. И если они взаимно не соприкасаются, то, содержа в себе промежутки, она разделится на некоторые отрезки, а то, что разделяется на отрезки, уже не может создать единую
150
линию. Если же их мыслить взаимно соприкасающимися, то или все они будут касаться друг друга целиком, или же [каждая] своей частью - части [другой]. И если они будут касаться своими частями частей же, то они уже не будут лишены промежутков и не будут лишены частей. Ведь точка, которая мыслится, например, между двумя точками, одной своей частью будет касаться предыдущей точки, а другой своей частью - последующей, да и плоскости - тоже иной какой-то частью, а еще каких-либо мест - иными, так что в действительности она уже не будет лишенной частей, но будет обладать многими частями. Если же точки будут касаться друг друга целиком, то ясно, что точки будут содержаться внутри точек и будут занимать то же самое место. А в силу этого они уже не будут лежать в виде ряда, чтобы получалась линия, но раз они занимают одно и то же место, получится одна точка. Поэтому если, чтобы мыслить линию, нужно прежде помыслить точку, в понятии которой заключена линия, но показано, что линия не есть точка и не состоит из точек, то значит, ее и не будет.
Более того, оставив в покое понятие точки, можно и прямо устранить линию и показать ее немыслимость.
Действительно, линия, как можно слышать от самих геометров, есть длина без ширины. Подвергнувши это точному рассмотрению, мы найдем, что ни в мыслимом, ни в чувственном нельзя допустить никакой длины без ширины. И в чувственном потому, что, какую бы чувственную длину мы ни взяли, мы везде и обязательно возьмем ее вместе с определенной шириной. В мыслимом же потому, что мы можем мыслить одну длину более узкой, чем другая, и когда, сохраняя одну и ту же длину одинаковой, мы будем делить в мысли ее ширину и будем делать то же самое до известного момента, то мы должны будем мыслить, что ширина становится все меньше и меньше, а когда представим себе, что длина совсем лишилась ширины, то мы не сможем представить себе уже и длины, но исчезнет и само понятие длины.
И вообще, все мыслимое мыслится двумя первыми способами: или как очевидное впечатление, или в
