Мертвая Вода Том 2

_n,

в котором компоненты вектора r выступают как «весовые множители» при компонентах вектора X_K валовых мощностей отраслей, приводя их к некой единой размерности, или лишая их размерности вообще, что позволяет в математической модели корректно складывать реальные хлеб, чугун, компьютеры, самолёты и телевизоры, производимые разными отраслями.

Ортогональность базиса - перпендикулярность друг другу любой пары координатных осей. Ортогональность базиса в задачах экономических приложений можно условно интерпретировать как полную взаимо-НЕ-заменяемость продукции в номенклатуре спектров производства X_K , F_K. При сделанных предположениях система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс, математически описывается так:

(E - A) X_K = F_K F_{K min}

XK 0 (ЛП-П)

Найти Min(Z), Z = r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} +… + r_nX_{K n}

В терминах математики это - задача линейного программирования

[175] (далее аббревиатура ЛП). Это задача продуктообмена (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «П»). Условие X_K 0, хотя оно присутствует и в канонической формально-математической постановке задачи линейного программирования, имеет и экономический смысл - неотрицательности валовых производственных мощностей. В задачу могут быть введены и иные таким же способом формализованные ограничения, например: биосферно-экологические ограничения в их формализованном виде X_K ‹X_{K max}, F_K ‹ F_{K max} , ограничения на численность персонала и т.п. Но они не изменяют характера изпользуемых математических методов, если все ограничения выражены в линейных функциях, т.е. функциях типа f = S a_i x_i , где а_i - коэффициенты, а x_i - переменные, i = 1,…, N. В такого рода системы неравенств могут входить и уравнения, так как каждое из уравнений f(x)= c эквивалентно введению в систему двух нестрогих неравенств f(x)Ј c, f(x) і c, которые оба должны удовлетворяться в решении системы.

Математический аппарат линейного программирования существует с начала 1940-х гг. и изпользуется в качестве средства для формализованного выбора оптимального решения в задачах управления объектами, описываемыми большим числом параметров; а также для формализованного выбора оптимального сочетания множества характеристик объектов при их проектировании и научно-техническом сопровождении осуществления проектов.

Именно по этой причине, т.е. для поддержания необходимой глобальному надиудейскому предиктору функциональной недееспособности при решении многопараметрических задач управления (и разработки технологий и продукции) линейное программирование и некоторые другие разделы математики, допускающие их такого рода приложение, не только изключены из типичного вузовского курса в СССР

[176], но даже вообще не упоминаются в них. Поэтому в нашей стране с линейным программированием и аналогичного назначения другими разделами математики знакомы содержательно-методологически только математики-абстракционисты, прошедшие через университетский курс высшей математики. А весьма малое число специалистов иных отраслей знания и техники просто бездумно натасканы на сложившиеся и ставшие традиционными прикладные интерпретации математического аппарата. В связи с этим пробелом в образовании большинства даже не-гуманитариев, прежде чем говорить о прикладных интерпретациях аппарата линейного программирования, поговорим о его существе.

В трехмерном пространстве линейное уравнение с тремя неизвестными: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + b = 0 - задаёт плоскость. Два уравнения задают две плоскости и, если плоскости пересекаются, то и прямую линию - линию их пересечения. Каждая плоскость разсекает полное безконечное во все стороны пространство на два “полупространства”, подобно тому, как удар ножом разсекает картофелину пополам. Замена знака равенства (=) в уравнении плоскости на знак неравенства (‹,›, Ј, і) есть выбор одного из полупространств, определяемых плоскостью, и изъятие из разсмотрения второго. При этом строгое неравенство (‹,›) изключает из избранного полупространства секущую полное пространство плоскость, а нестрогое (Ј, і) включает секущую плоскость в избранное полупространство (т.е. “нож” остаётся прилепленным к одной из половинок “картофелины”).

Много неравенств - это вырезание безконечно простирающимися плоскостями из полного пространства некоторой области. Геометрически такая область - многогранник.

В n-мерном пространстве всё точно также. Линейное уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n - 1 , называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n-мерном пространстве вырезают из него гиперплоскостями n-мерную область. Эта область является n-мерным многогранником; причём выпуклым многогранником. Свойство выпуклости означает, что всякие две точки на поверхности, ограничивающей многогранник, могут быть соединены отрезком прямой линии, и все точки этого отрезка будут принадлежать либо внутренности этого многогранника, либо ограничивающей его поверхности.

Картофелина после её обрезки ножом - трехмерный эквивалент такого n- мерного многогранника. Свойство выпуклости проявляется в том, что, если из любой точки на её поверхности картофелину проткнуть прямолинейной спицей в произвольном направлении, то спица войдет в картофелину и выйдет из неё только по одному разу: т.е. одно пронзание спицей картофелины на её поверхности оставляет только две дырки.

Аргумент Z функции Min(Z) критерия оптимальности - также линейная функция n переменных:

Z = r^TX_K = (r₁, r₂,…, r_n)(X_{K 1}, X_{K 2},…, X_{K n})^T =

= r₁X_{K 1} + r₂X_{K 2} +… + r_nX_{K n}.

То есть скалярное произведение векторов r^TX_K в ортогональном базисе - также уравнение гиперплоскости. Её направленность в пространстве определяется набором коэффициентов r₁, r₂,…, r_n . При этом вектор r=(r₁, r₂,…, r_n)^T ортогонален (т.е. перпендикулярен) к гиперплоскости, задаваемой уравнением Z = r^T X_K. Удаленность гиперплоскости от начала системы координат