Мертвая Вода Том 2

двойственной. Решения прямой и двойственной задач взаимно обусловлены: т.е. по решению одной, на основании теории двойственности линейного программирования, можно судить о решении ей парной задачи.

В зависимости от характера ограничений, определяющих размерность матрицы

[178] A (количество в ней строк и столбцов), чисто алгоритмически одна из задач в паре может требовать существенно меньших объемов вычислений, что позволяет на основе теории двойственности в ряде случаев значительно сократить время решения задачи.

По отношению к ранее выписанной задаче ЛП-П, описывающей межотраслевой баланс продуктообмена в натуральном учёте, двойственная ей задача ЛП записывается так:

(E - A^T) P = r_ЗСТ Ј r

P 0 (ЛП-Р)

Найти Max(Y), Y = F_{K min 1} P₁ + F_{K min 2} P₂ +… + F_{K min n} P_n

Это задача рентабельности (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «-Р»). Она описывает ценовые соотношения при спектрах производства X_K и F_K , поскольку связана с уравнением реальных

[179] и/либо равновесных цен, или неких абстрактных “теневых” цен (в зависимости от интерпретации в ней переменных).

В первой её строке слева от знака неравенства стоит несколько измененное уравнение равновесных цен (3): вектор долей добавленной стоимости обрёл в нём мнемонический индекс «зст», указующий на взаимную обусловленность того явления, которое принято называть «закон стоимости», и входящих в компоненты вектора долей добавленной стоимости функционально обусловленных разходов отраслей. Обычно первую строку приведённой задачи ЛП математически канонически записывают так:

(E - A^T) P Ј r

В нашем случае отказ от математически канонической формы записи задачи линейного программирования обусловлен тем, что при следовании этой форме ограничения явно относятся к левой части уравнения равновесных цен, в которой отражён продуктообмен, в то время как на уровне макроэкономики интерес представляют ограничения, налагаемые на правую - чисто финансовую - часть уравнения равновесных цен, в которой натуральные показатели продуктообмена отраслей не присутствуют ни прямо, ни в их финансовом выражении.

С начала 1950-х гг. известна теорема: «Если в оптимальном решении прямой задачи неравенство № k выполняется как строгое (т.е. имеет место выполнение условия «›» или «‹» вместо возможного равенства или неразрешимости задачи), то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю».

Также с начала 1950-х гг. известны экономические интерпретации теории двойственности. Обычно в них в качестве прямой задачи разсматривается некая задача продуктообмена ЛП-П, в которой переменные интерпретируются как объёмы ресурсов, вовлекаемых в производственный процесс. Тогда в качестве двойственной выступает задача рентабельности ЛП-Р, в которой переменные интерпретируются как некие цены

[180] соответствующих ресурсов.

Такая интерпретация:

· в прямой задаче переменные - объёмы продукции или ресурсов в их натуральном учёте;

· в двойственной задаче переменные - цены,

- стала традиционной, общеизвестной, общепринятой.

Смотри, например, Ю.П.Зайченко “Исследование операций” (Киев, “Вища школа”, 1979 г.) - рядовой учебник для вузов; “Математическая экономика на персональном компьютере” под ред. М.Кубонива (пер. с японского, Москва, “Финансы и статистика”, 1991 г., японское изд. 1984 г.) - ликбез-справочник - «практическое пособие по активному изучению основ рыночной экономики», как сообщается в аннотации к изданию для русскоязычных.

Приведённая теорема в такого рода интерпретациях обретает экономическое выражение:

Если объём некоего ресурса в оптимальном решении прямой задачи превышает ограничения, то цена ресурса в оптимальном решении двойственной задачи - ноль.

Это - общеизвестное на протяжении не менее сорока лет в мировой литературе утверждение, ставшее привычным:

Ю.П.Зайченко, стр. 88: «Если некоторый ресурс b_i имеется в избытке и i-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то оно становится несущественным и оптимальная цена соответствующего ресурса равна 0».

М.Кубонива, стр. 244: «Кроме того, симплексный критерий из задачи (LP1-D - обозначение в книге двойственной задачи) означает, что ресурс k, существующий в количестве, превышающем оптимально изпользуемый объём, становится свободным ресурсом, и его цена обращается в нуль».

Чтобы быть точным и не извращать по умолчанию контекст цитированных източников, следует сделать оговорку: только что приведённые экономические интерпретации относятся к иным экономическим задачам, не совпадающим с разсматриваемой нами задачей управления многоотраслевым народным хозяйством как целостностью, во-первых, в биосферно допустимом и, во- вторых, в общественно приемлемом режиме.

В обоих цитированных източниках разсматриваются задачи оптимизации управления частной структурой в объемлющей её хозяйственной системе. Иными словами, в них разсматривается задача, как выйти на рынок со своей продукцией и не прогореть. Соответственно переменные прямой задачи (продуктообмена), не совпадающей с нашей, интерпретируются в них как разходуемые, ограниченные объёмы ресурсов, доступных структуре в процессе производства ею продукции; а переменные двойственной задачи (рентабельности), также не совпадающей с нашей, интерпретируются как цены на употребление этих ресурсов.

Тем не менее, с точки зрения бухгалтерии (по-русски: счетоводства), учитывающей разходы в процессе ведения производства, нет разницы между платой за употребление ресурсов и оплатой продукции поставщиков. Поэтому для нас важны не экономические задачи, разсмотренные в цитированных източниках с привлечением аппарата линейного программирования, а то обстоятельство, что, если в микроэкономических интерпретациях (по отношению к структурно обособленной частной фирме) переменные прямой задачи интерпретируются как объёмы, то переменные двойственной задачи интерпретируются как цены.

Но несмотря на давность и общеизвестность среди специалистов такого рода экономических интерпретаций линейного программирования, мировая экономическая наука более чем за сорок лет не сделала единственно возможного осмысленного вывода из теории двойственности в её приложениях к задачам управления (и организации саморегуляции)