обернуться серьёзными находками. Многие замечательные открытия в самых различных областях знаний ведут начало от игры.
— Конечно же, вам посчастливилось открыть что-то интересное! — с надеждой воскликнул Олег.
— Да, кое-что раскопал. Вскоре после похода к Хинчину, задумавшись над методом спуска, то бишь понижения степени, я заметил прелюбопытную штуку. Оказывается, любую степень целого числа можно представить в виде суммы последовательных нечётных чисел. И количество слагаемых при этом равно основанию степени. Вот, например: 43 можно представить как сумму четырех последовательных нечётных чисел: 43=13+15+17+19. Иначе говоря — 64. Другой пример: 54=121+123+125+127+129. Итого 625.
Сева скептически покачал головой.
— Да, а как узнать, с какого нечётного числа начинать?
— Это я тоже обнаружил. Надо основание степени возвести в степень, на единицу меньшую, затем вычесть отсюда основание и, наконец, прибавить единицу. Вот, скажем, чтобы возвести 5 в четвёртую степень, надо сперва возвести 5 в третью степень (то есть понизить четвёртую степень на единицу). 53 — это будет 125. Теперь вычтем отсюда основание, то есть 5, получим 120. Прибавим к 120 единицу, получим 121. Вот мы и нашли первое число, с которого надо начинать разложение степени.
— Я это правило знаю, — сказал Олег, — но только для квадратов чисел. Там всегда надо начинать с единицы. 52=1+3+5+7+9.
— Ну конечно, — подтвердила Таня, — ведь 5–5+1=1. Кроме того, это правило вытекает из формулы суммы арифметической прогрессии.
— Совершенно верно. И мне довелось обобщить это правило для любой степени, — сказал я. — Особенно любопытно получается разложение третьих степеней. Вот смотрите:
и так далее…
— Да ведь отсюда легко получить знаменитое восточное равенство! — обрадовался Олег:
13+23+33+43+… = (1+2+3+4+…) 2.
Не скрою, мне было очень приятно, что ребята сразу же с увлечением принялись блуждать в увлекательном лабиринте чисел.
— Любопытных зависимостей в числах можно найти множество, — сказал я, — надо только внимательно в них всматриваться. Что до меня, то из своей теоремы я извлёк много разных разностей. Но говорить о них сейчас мне не хочется — покопайтесь-ка в этом сами! А в те, двадцатые годы я очень гордился своими изысканиями. Через несколько лет я показал свою теорему академику Николаю Николаевичу Лу́зину, интереснейшему, разностороннему учёному и человеку. Его увлекательные лекции по самым разнообразным проблемам математики привлекали огромную аудиторию. Их посещали не только студенты, но и преподаватели, профессора да и просто любители математики.
Лекции Лузина — отточенные, легко воспринимаемые — были не только глубоки по содержанию, но и блистательны по форме. Не случайно ученики Николая Николаевича (а он воспитал плеяду великолепных математиков!), как правило, превосходные лекторы.
Я подошёл к Николаю Николаевичу после одной из таких его блистательных лекций, которую побежал слушать, забросив все другие дела. Я задал ему какой-то вопрос, завязался разговор, и я, как бы случайно, свернул на интересующую меня тему. Я спросил, известна ли Николаю Николаевичу теорема о таком разложении степени натурального числа? Лузин сказал, что подобной теоремы не знает, и предложил мне прийти к нему домой — у него, мол, есть полный математический справочник Клейна на английском языке.
Долго ждать себя я не заставил — пришёл на другой же день! Обо мне было доложено, и я довольно-таки порядочно прождал в кабинете. Хозяин вышел в вельветовой куртке и домашних туфлях, извинился, потом подошёл к шкафу и вынул толстенный том «Энциклопедии математических наук» Клейна. «В этом томе, — сказал он с улыбкой, — есть всё, что касается чисел, от Ро́мула до наших дней. Если вы не найдёте вашей теоремы здесь, значит, она действительно ваша. Возьмите книгу с собой! Только, пожалуйста, не задерживайте долго»…
Не помня себя от изумления, я попрощался и вышел с драгоценной ношей под мышкой. Отдать такой клад первому встречному? Непостижимо! Потом я понял, что этому большому человеку и в голову не приходило, что кто-то может его обмануть. Наука и злодейство для него — вещи несовместные.
— Ну и долго вы продержали книгу? — нетерпеливо понукал меня президент. — Ведь она была такая толстенная!
— Я листал энциклопедию несколько ночей, не отрываясь, — все боялся найти там свою теорему.
— И не нашли! — сказала Таня.
— И не нашёл.
Сева в восторге хлопнул себя по коленке.
— Стало быть, теорема ваша!
— Так и я думал. И довольно долго. Но вот совсем недавно я нашёл эту «свою» теорему в сборнике задач, которые предлагались ученикам восьмых классов — участникам математической олимпиады.
— Какая жалость! — искренне огорчился Нулик.
— Скажи лучше, какая радость! Ведь это свидетельство громадного роста нашей школы. Далеко же она ушла вперёд! И в первую очередь это заслуга наших преподавателей. Ведь от учителя многое зависит…
— Ещё бы! — глубокомысленно поддакнул президент.
— Мне, например, — продолжал я, — на учителей очень повезло. Вот хоть мой первый учитель математики — Ма́ртин Фёдорович Берг. Уверен: тот, кто учился у Берга, никогда его не забудет. Не забудет, как изящно, как тонко доказывал он сложнейшие теоремы…
Нулик недоверчиво шмыгнул носом.
— Да, да, — настаивал я, — именно изящно и тонко. Ведь доказывать теоремы, как и танцевать, можно по-разному. У одного это получается неуклюже, у другого — красиво… Берг доказывал теоремы красиво. И, видимо, это доставляло ему самому большое удовольствие. До сих пор помню любимый жест Мартина Фёдоровича. Закончив доказательство, он соединял кончики большого и указательного пальцев и высоко поднимал в воздух образованный ими круг, как бы говоря: «Доказательство абсолютно точное! Никаких сомнений быть не может!» При этом вслух добавлял по-латыни: «Квод демонстра́ндум э́рат!» Иначе — что и требовалось доказать.
— Квод демонстрандум эрат! — с удовольствием, хоть и не без труда, повторил Нулик и поднял руку со сложенными нулём пальцами.
Я рассмеялся.
— Не сомневался, что ты-то уж это запомнишь. Недаром ты Нулик, да ещё будущий математик. А Мартин Фёдорович, между прочим, воспитал немало прекрасных математиков. Впрочем, его изящные уроки пригодились и тем его ученикам, которые посвятили себя весьма далёким от математики профессиям. Воспитанниками Берга были артист Анатолий Горюнов, радист-папанинец Эрнст Кре́нкель, артист и писатель Александр Глу́мов, известный филолог Борис Пу́ришев, дипломат Константин Ума́нский, артистка Софья Гарре́ль, пианист Лев Обо́рин… Всех и не перечислишь! Не сомневаюсь, что для каждого из них Мартин Фёдорович Берг был прежде всего примером увлечённости любимым делом.
— Вот вырасту и стану учителем! — неожиданно выпалил Нулик. — И никому-никому не буду ставить двоек. Потому что я не злопамятный…
— А пятёрок не будешь ставить потому, что не знаешь, как они выглядят, — съязвила Таня.
Ну вот, начались шуточки. Стало быть, пора мне идти на посадку…
— Давайте подведём итоги, — сказал я. — Какие сделаем для себя выводы?
— Я думаю, вывод такой, — резюмировал Сева. — Числа — наши верные друзья. С ними никогда не соскучишься.
— Ну, это об удовольствиях, — уточнил я. — А о пользе я, пожалуй, скажу сам. Однажды я увлёкся составлением числовых треугольников. Сперва это казалось мне всего лишь забавной умственной
