макроскопических процессов.
Как пишет
Киттель
в предисловии
[70] : «Статистическая термодинамика представляется удивительно легким предметом, если при ее изучении придерживаться последовательной
квантовомеханической
точки зрения, в основе которой лежит понятие состояний всей системы, независимо от того, велика она или мала».
И далее, в начале первой главы: «В настоящее время мы знаем, что статистическую термодинамику легче изучать с позиций квантовой механики, чем на основе классической механики времен Гиббса. Это обстоятельство неудивительно, поскольку квантовая механика дает правильное описание природы, тогда как на атомном уровне описание в рамках классической механики является неполным. Только переведя принципы Гиббса на язык квантовой механики, мы приходим к ясному, последовательному и простому физическому
обоснованию
как термодинамики, так и статистической механики. В процессе такого перевода существенно использование только одного-единственного понятия квантовой механики, а именно — понятия о стационарном квантовом состоянии системы частиц».
В простейшей
квантовомеханической
модели из элементарных магнитиков состояние системы определяется заданием ориентации (вверх или вниз) каждого из них. И энергия системы определяется достаточно просто, исходя из ее состояния. Энергия выражается через следующую разность, которая в данном случае называется спиновым избытком:
(число спинов вверх) — (число спинов вниз) =
спиновый
избыток.
Например, состояние, в котором число спинов «вверх» равно числу спинов «вниз», имеет нулевую энергию (равномерное распределение энергии). Два состояния, в котором все спины направлены вверх (вниз), имеют максимальную энергию из всех возможных для данной системы.
Таким образом, энергия системы — это величина, которая характеризует отклонение системы от равновесного состояния. Отсюда — связь с классической физикой и всевозможными определениями энергии, которые в ней используются. Все они в основе своей содержат
квантовомеханическое
определение энергии и с классической точки зрения характеризуют работу, которую может совершить система при ее переходе к равновесному состоянию. Здесь мы видим естественный переход к понятию силы (градиента энергии), который совершает эту работу.
Отмечу, что вся классическая термодинамика выводится из простейшей
квантовомеханической
модели невзаимодействующих спинов, и остается возможность дальнейшего совершенствования этой модели. Очевидным становится то основное упрощение, следствием которого являются законы классической термодинамики. Поскольку не учитываются взаимодействия между частицами, из рассмотрения убираются несепарабельные состояния и нелокальные квантовые корреляции.
Курс статистической термодинамики
Киттеля
хорош еще и тем, что он на конкретном примере показывает высокую эффективность подхода квантовой механики к объяснению физических процессов в окружающей реальности. Замечу — любых процессов, в том числе макроскопических, поскольку в основе
квантовомеханической
точки зрения «лежит понятие состояний всей системы, независимо от того, велика она или мала».
Задать энергию как функцию состояния можно и без привязки к физике, а, скажем, для характеристики информационных процессов. К примеру, выразить ее через аналог «спинового избытка» (удобнее брать удвоенную разность между числом нулей и единиц в векторе состояния в двоичном базисе). Можно еще проще — как число единиц в векторе состояния. В частности, состояние из всех нулей |000…00n принять за минимальное значение энергии, тогда ортогональное ему состояние из всех единиц — состояние с максимальным значением энергии.
А энергию для всех промежуточных состояний определять числом единиц, то есть энергия состояния |01100n равна 2, для состояния |10110n равна 3 и т. д. Здесь можно подумать о нормировке, о том, как удобнее ввести энергию, но суть остается — нужно как-то связать число нулей и единиц в векторе состояний с количественным значением энергии.
Такое определение энергии имеет и некоторый физический смысл: например, в случае передачи информации по каналу с шумом для «переворота» (искажения)
одного символа требуется
меньше энергии внешнего воздействия (шума), чем для «переворота» двух и более символов.
После этого можно говорить о градиенте энергии.
Так, если есть два локальных объекта в исходном состоянии: |000…00n (один из них) и |111…11n — другой (каждое из этих состояний
сепарабельное
), и они приходят во взаимодействие, то градиент энергии между ними будет максимальный (перепад энергии максимально возможный, так как одна подсистема находится в состоянии с минимальной энергией, а другая — с максимально возможной энергией).
Возникает поток энергии, который приводит всю систему в равновесие, и она перейдет, например, в суперпозиционное состояние
(|000…00n + |111…11n) —
несепарабельное
, максимально запутанное и нелокальное. В квантовой теории оно называется
кэт-состояние
в память о
шредингеровском
коте, который находится в состоянии «ни жив, ни мертв».
Несколько слов об энтропии. Энтропия и энергия в физике неразрывно связаны друг с другом. При формальном определении энергии, скажем, как числа единиц в двоичном базисе можно эту связь установить для любых состояний (не только физических).
Энтропия по своему фундаментальному определению (в терминах состояний) — это логарифм от числа допустимых состояний системы.
Как говорит
Киттель
: «Это определение ошеломляет своей простотой: энтропия есть логарифм числа допустимых состояний системы. <…> Говорят, что энтропия служит мерой беспорядка в системе. Такое утверждение точно соответствует определению. Чем больше у системы допустимых состояний, тем больше энтропия».
Как известно, статистическая физика исходит из следующего основного предположения (иногда это утверждение называют основной гипотезой статистической физики): замкнутая система с равной вероятностью может находиться в любом допустимом для нее состоянии. Состояние считается допустимым, если оно удовлетворяет наложенным на систему ограничениям. Основные ограничения — это ограничения по энергии и по числу подсистем (определяется размерностью гильбертова пространства).
Число допустимых состояний, в свою очередь, зависит от энергии. Поясню этот момент на примере системы из 10 двухуровневых подсистем (в двоичном базисе). Для состояния с максимальной энергией, то есть 1111111111, есть только одно допустимое состояние. Для состояния с чуть меньшей энергией, например, с одним нулем — уже 10 допустимых состояний, скажем, 1101111111, то есть 10 различных вариантов размещения 0. Это степень вырождения для данного значения энергии. Для состояния с двумя нулями число допустимых состояний (степень вырождения) равно 45 и т. д. Максимальное число допустимых состояний (252) имеет место для состояний из 5 единиц и 5 нулей, то есть состояний типа 1101011000. Здесь работает комбинаторика, и в целом мы имеем гауссово распределение для числа допустимых состояний.
Таким образом, энтропия (логарифм от числа допустимых состояний) [71] является функцией энергии (числа единиц в нашем случае), то есть:
?
(
m) =
ln
g(
m),
где m — энергия (число единичек); g (m) — степень вырождения для данного значения энергии (число допустимых состояний, соответствующих этой энергии).
