среднему значению — k
ln?
, где k — постоянная Больцмана, так что согласно (3.8) имеем: <—k
ln?
> = — k (
?
ln?
) Отсюда связь между количеством информации в системе и энтропией
Tr
(?
ln?
) = <ln?
>, которая называется энтропией фон Неймана и чаще всего используется сейчас в качестве меры квантовой информации. Она и была введена в качестве первой меры квантовой запутанности, которая определяется выражением (3.6). Различие между натуральным логарифмом и логарифмом по основанию 2 в данном случае не принципиально. Заметим, что
Tr
(?
ln?
) и ln
[Tr
(?2)] изменяются в одних и тех же пределах и никогда сильно не отличаются друг от друга. Однако при использовании этой меры, чтобы получить положительное число, приходится в выражениях ставить знак минус, как в (3.6). При этом иногда забывается, что при переходе к логарифму с информацией произошел своеобразный «перевертыш»: там, где был минимум информации, — теперь стал максимум, а максимум информации (единица для чистого состояния) обратился в нуль. Хотя и эту ситуацию можно трактовать так, что, с точки зрения внешнего наблюдателя, о чистом состоянии он ничего не может сказать, поскольку это замкнутая система, которую наблюдатель еще не «потревожил» своим измерением. Квантовая теория
информации
таким образом непосредственно связывает информацию с энергией через энтропию фон Неймана, которую можно считать основной физической характеристикой энергоинформационного процесса. Изменение информации сопровождается изменением энергии, а обмен информацией напрямую связан с обменом энергией (справедливо и обратное) — это еще один важный вывод, который сделан в физике квантовой информации. Есть и отдельные строгие результаты, связывающие информацию, энергию и энтропию. В частности, теорема
утверждает, что число элементарных логических операций, которые физическая система может выполнить в единицу времени, ограничено энергией системы, а количество информации, которую система может зарегистрировать (воспринять), ограничено ее собственной максимальной энтропией[92]. Прямая связь между энергией и выполняемыми логическими операциями (информационными процессами) позволяет перекинуть мостик к физическим процессам, сопровождающим работу сознания, поскольку она непосредственно связана с логическими операциями.
Информация в терминах энтропии фон Неймана позволяет описывать запутанные состояния. Одна из основных особенностей этого понятия состоит в том, что об объекте, находящемся в чистом запутанном состоянии (
?
= ?2), невозможно получить никакой информации, поскольку в этом случае из (3.6) следует E(?) = 0. Энтропия фон Неймана и квантовая запутанность может быть отлична от нуля только для подсистем, которые взаимодействуют со своим окружением, и поэтому находятся в несепарабельном
состоянии. Довольно часто для простоты количество квантовой информации определяется просто как число кубитов в системе.
Исходная величина
Tr
(?2) сейчас тоже широко используется в физике квантовой информации, но уже не в качестве меры информации, а как характеристика степени чистоты состояния (purity), которая показывает, насколько близко данное состояние к чистому
, для последнего Tr
(?2) = 1. Кубиту
в нашей книге отведена исключительно важная роль, поэтому вернемся к нему еще раз — теперь уже с привлечением матрицы плотности, которая помогает глубже понять, что такое кубит
, и более подробно его описывает. Пространство двух состояний, когда система может переходить из одного состояния в другое (двухуровневая система), является простейшим гильбертовым пространством. Когда система имеет одно состояние, и оно не меняется, то вообще не имеет смысла говорить о применении методов квантовой теории к такой системе и об описании ее в терминах состояний.
Если базисные векторы такого элементарного двухмерного пространства состояний обозначить[93] |0nи |1n, то в самом общем виде вектор состояния двухуровневой системы может быть записан в виде:
|?n = a|0n + b|1n, (3.9)
где а и b — комплексные числа (амплитуды), удовлетворяющие условию
нормировки
|а|2 + |b|2 = 1. Тогда, исходя из основных понятий квантовой механики, определение кубита звучит достаточно просто:
кубит
—это вектор состояния двухуровневой системы. Таким образом,
кубит
— это минимально возможный (элементарный) вектор состояния. Любой вектор состояния может быть представлен как совокупность таких элементарных векторов, поэтому кубит
— первооснова, исходный «кирпичик» для всех других векторов состояния любой размерности. Подобно тому, как за единицу классической информации принимается бит (0 и 1), так в физике квантовой информации
кубит
определяется как единица квантовой информации. Одним из сложных для восприятия квантовой механики моментов является отсутствие наглядных представлений, когда приходится иметь дело с векторами состояний и матрицами плотности. Как можно сопоставить вектор гильбертова пространства с привычными для нас трехмерными объектами? Один из наиболее простых вариантов такого сопоставления хорошо известен. Это так называемая сфера Блоха. Попытаемся разобраться, что она собой представляет.
В простейшем случае для системы, которая может находиться в двух состояниях (например, «вверх» и «вниз»), матрица плотности имеет размер 2 ? 2 и для чистого состояния (
3.9)
она имеет вид: 
. (3.10)
Существует и более общее выражение для матрицы плотности кубита, не только для того случая, когда он находится в чистом состоянии, как (3.10), но и для смешанного состояния, когда
