эрмитовы
.
В матричном анализе доказывается утверждение, что всякую
эрмитову
матрицу 2 ? 2 можно однозначно записать в виде вещественной линейной комбинации единичной матрицы и трех матриц с нулевым следом, так называемых матриц Паули, в частности, любая матрица плотности 2 ? 2 представляется в виде:
?
= 1/2 (
Е + ??x
+ ??y
+ ??z
),
где
Е
— единичная матрица, ?, ?, ? — вещественные числа, а
?x,
?y
и
?z
— матрицы Паули [см. (3.12)]. Мы уже пользовались такой формой записи в выражении (3.11).
Этот результат для матриц 2 ? 2 является частным случаем хорошо известного в квантовой теории общего утверждения, что любая матрица плотности произвольной размерности может быть записана в виде[98]:
?
? = (1 — ?)
Md
+ ?
?1, (3.14)
где d = 2N — размерность гильбертова пространства системы, состоящей из N подсистем;
Md
=
1d/d — максимально смешанное состояние (нормализованная единичная матрица плотности, след которой равен 1);
1d — единичная матрица размерностью
d; ?1 — произвольная матрица плотности; ? — вещественный параметр (0 ? ? ? 1).
В форме (3.14) часто анализируют
псевдочистые
состояния
[99], когда
?1 = |
?
na
?
|.
?
? = (1 — ?)
Md
+ ?|
?
na
?
|.
Выражение (3.14) можно переписать в виде:
?
? =
Md
+ ?(
?1 —
Md
). (3.15)
То есть любая матрица плотности может быть представлена в виде суммы матрицы максимально смешанного состояния
Md
(с единичным следом) и матрицы с нулевым следом (
?1 —
Md
), напомню, что след у
?1 тоже равен единице.
Таким образом, состояние произвольной системы имеет двуединую природу, содержит в своей структуре две качественно различные составляющие: одна часть неизменная, вечная (максимально смешанное состояние), и вторая часть динамическая (если система динамическая, параметр ? может быть, например, функцией времени).
Рассмотрим более детально, что такое максимально смешанное состояние. Наверное, это будет легче понять на примере кубита. Только для начала мы запишем вектор состояния кубита |
?
n =
a|0n +
b|1n в виде нужной матрицы плотности. Этот вектор состояния зависит от четырех вещественных параметров (
a и
b — комплексные числа). Число параметров можно уменьшить до двух, воспользовавшись двумя дополнительными условиями, налагаемыми на вектор состояния, — условием нормировки |
a|
2+ |
b|
2= 1 и одним из постулатов квантовой механики, согласно которому состояния не меняются, если их умножить на фазовый множитель exp(±
i?
). То
есть,
например, состояния |0n и exp(
i?
) |0n тождественны. Это следствие того факта, что модуль комплексной экспоненты равен единице.
Следовательно, необходимы лишь два независимых вещественных параметра, чтобы однозначно задать вектор состояния кубита. Обычно в качестве таких параметров выбирают два угла
?
и
?
, которые однозначно определяют точку на сфере Блоха (см. рис. 1). В этом случае
a =
exp(
—
i?
/2)
cos
(
?
/2)
b =
exp(
i?
/2) sin(
?
/2),
а вектор состояния записывается в виде:
|?n = exp(—
i?
/2)
cos
(
?
/2) |0n + exp(
i?
/2)sin(
?
/2) |1n. (3.16)
Матрица плотности
?
тогда равна сумме двух матриц
?1 и
?2:
. (3.17)
Нам еще пригодится вектор состояния
|?n =
cos
(
?
/2) | 0n+sin(
?
/2) |1n, (3.18)
