Математики тоже шутят

входит в школьную программу), а посему ее нельзя считать удовлетворительной. Впрочем, мне удалось это легко исправить с помощью модифицированной формулы

Полученная формула (опять-таки при необходимости ее надо применять несколько раз) позволяет выразить любую цифру через любую большую цифру, не применяя других цифр, что, очевидно, исчерпывает задачу Ландау.

В конце концов, автор исходной заметки про игру Ландау, проф. Горобец дал еще одно, почти тривиальное общее решение: «Возьмем произвольный номер a,b—c,d и рассмотрим три случая.

1. Пусть среди цифр нет нулей. Составим из них два числа ab и cd, (это, разумеется, не произведения). Покажем, что при n ? 6:

sin[(ab)!]° = sin[(cd)!]° = 0.

Действительно, sin(n!)° = 0, если n ? 6, так как sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Дальше любой факториал получается умножением 6! на последующие целые числа: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 и т.д., давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (и тангенс тоже) равным нулю.

2. Пусть в какой-то паре цифр есть ноль. Умножаем его на соседнюю цифру и приравниваем к синусу факториала в градусах, взятого от числа в другой части номера.

3. Пусть в обеих частях номера имеются нули. При умножении на соседние цифры они дают тривиальное равенство 0 = 0.

Разбиение общего решения на три пункта с умножением на ноль в пунктах 2 и 3 связано с тем, что sin (n!)° ? 0, если n < 6».

Разумеется, подобные общие решения лишают игру Ландау изначальной прелести, представляя лишь абстрактный интерес. Поэтому попробуйте поиграть с отдельными трудными номерами, не используя универсальных формул. Вот некоторые из них: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

21. Гадание по определителям

Если посчитать этот шутливый определитель, написанный по идее московского математика Ю. А. Шевченко, то получится примерно следующее: Петя любит Машу, а Маша не любит математику.

22. 9 знаков

Еще про определители.

Мне рассказывали, что одно время среди первокурсников мехмата была популярна игра в «определитель» на деньги. Двое игроков чертят на бумаге определитель 3 x 3 с незаполненными ячейками. Затем по очереди вставляют в пустые ячейки цифры от 1 до 9. Когда все клетки заполнены, определитель считают — ответ с учетом знака и есть выигрыш (или проигрыш) первого игрока, выраженный в рублях. То есть, если, например, получилось число –23, то первый игрок платит второму 23 рубля, а если, скажем, 34, то, наоборот, второй платит первому 34 рубля.

Хотя правила игры просты, как репка, придумать правильную стратегию выигрыша очень нелегко.

23. Как академики задачу решали

Эту заметку мне прислал математик и писатель А. Жуков, автор замечательной книги «Вездесущее число пи».

Профессор Борис Соломонович Горобец, преподающий математику в двух московских вузах, написал книгу о великом физике Льве Давидовиче Ландау (1908–1968) — «Круг Ландау». Вот какую любопытную историю, связанную с одной физтеховской вступительной задачей он нам рассказал.

Случилось так, что соратник Ландау и его соавтор по десятитомному курсу по теоретической физике академик Евгений Михайлович Лифшиц (1915–1985) в 1959 году помогал выпускнику школы Боре Горобцу готовиться к поступлению в один из ведущих физических вузов Москвы.

На письменном экзамене по математике в Московском физико-математическом институте предлагалась следующая задача: «В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, с углом C = 90°, стороной AB = l. Боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы ?, ?, ?. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара».

Будущий профессор не справился тогда с задачей, но запомнил ее условие и позже сообщил Евгению Михайловичу. Тот, повозившись с задачей в присутствии ученика, не смог решить ее сходу и забрал с собой домой, а вечером позвонил и сообщил, что, не одолев ее в течение часа, предложил эту задачу Льву Давидовичу.

Ландау обожал решать задачи, вызывавшие затруднения у других. Вскоре он перезвонил Лифшицу и, довольный, сказал: «Задачу решил. Решал ровно час. Позвонил Зельдовичу, теперь решает он.» Поясним: Яков Борисович Зельдович (1914–1987) — известный ученый, считавший себя учеником Ландау, был в те годы главным физиком-теоретиком в сверхсекретном Советском Атомном проекте (о чем, конечно, тогда мало кто знал). Примерно через час Е. М. Лифшиц позвонил снова и сообщил: только что ему позвонил Зельдович и не без гордости сказал: «Решил я вашу задачу. За сорок минут решил!»

А за какое время справитесь с этой задачей вы?

24. Задачка

В остроумном сборнике физтеховского юмора «Занаучный юмор» (М., 2000) есть немало математических шуток. Вот только одна из них.

При испытании одного изделия произошел один отказ. Какова вероятность безотказной работы изделия?

25. «Интересное» доказательство

Теорема. Все натуральные числа интересны.

Доказательство. Предположим противное. Тогда должно существовать наименьшее неинтересное натуральное число. Ха, так ведь это чертовски интересно!

26. Высшая арифметика

1 + 1 = 3, когда значение 1 достаточно велико.