Число и культура

динамике', существуют следующие разновидности: 1) ценности, происходящие в результате когнитивной деятельности (Истина), 2) ценности эстетического удовлетворения (Красота), 3) ценности социальной адаптации и морали (Добро) и, наконец, 4) ценности, конституирующие все остальные в единое социальное целое (Польза). 'Любую социально значимую человеческую активность можно объяснить посредством этих четырех поистине универсальных категорий' [305, c. 21].

Аристотель называл четыре основные причины действительности: материя, пассивная возможность становления; активная форма, которую приобретает материя; действующая и целевая причины, которые связаны с формой. Буддизм формулирует учение о 'четырех благородных истинах': существуют страдание, его причины, состояние освобождения, путь к нему. Будда переживает Четыре Чрезвычайных Прозрения, которые предопределили его решение оставить семью, роскошную жизнь во дворце и стимулировали поиск просветления: старый человек с выпавшими зубами, седыми волосами, согбенным телом (дряхлость); человек, лежащий у дороги, мучимый неизлечимым недугом (болезнь); труп (смерть); монах с бритой головой, одетый в оранжевую накидку (духовный поиск).

На существенности четверичного модуля в естественнонаучных, общественно- исторических, шире: культурных, – моделях настаивает в своих работах А.Е.Чучин-Русов. При этом он упоминает буддизм, приводит мнение пифагорейцев и неопифагорейцев, что четверица – 'изначальное, всему предшествующее число, корень всех вещей, источник Природы и наиболее совершенное из чисел', ссылается на А.Ф.Лосева, К.Юнга, М.Хайдеггера [375, c. 108]. В своей ведущей роли четверица постепенно вытесняет троицу [там же].

Уже в Новое время европейцы разделили Мировой океан на четыре составных компонента, сообразно четырем странам света: океаны Атлантический ('западный'), Тихий ('восточный'), Индийский ('южный'), Северный Ледовитый ('северный'). Излишне напоминать, что подобное географическое деление единого водного зеркала представляет собой чистую условность, наглядное выражение именно культурной матрицы.

Мы не ставили себе целью перечислить в настоящем разделе все разновидности научных, социально-политических, культурных тетрад, да это и невозможно. Однако о механизме их работы, а также о логике, которая за ними стоит, читатель, надеюсь, сложил определенное мнение. После чисел 3 и 4 пора обратиться к другим формообразующим представлениям.

Примечания

1 Так, Зенон из Элеи рассматривал в апории 'Стрела' каждую очередную половину ее пути как 'пройденную', 'законченную'.

2 В Японии ей соответствовали парии – 'эта' (букв.: 'переполненные грязью'), которые занимались убоем скота, выделкой кожи, изготовлением обуви и доспехов.

3 Кувшин с человеческой головой (юг) содержал желудок и большие кишки, с головой собаки (север) – тонкие кишки, шакала (восток) – легкие и сердце, сокола (запад) – печень и желчный пузырь.

1.5. Системы с иной логической структурой

Среди решений составленного для систем S уравнения – уравнения (5) раздела 1.2 – фигурировали 'странные' варианты М = ? и М = 0, см. разделы 1.3 и 1.4. Независимо от того, какова заданная кратность отношений n, формально допустимо, что системы настоящего типа могут состоять из бесконечно большого числа элементов или вовсе не содержать таковых, по-прежнему квалифицируясь в качестве целостных и простых. Ранее предпочтение отдавалось логически 'здравым', 'позитивным' решениям М = 3, М = 4, а такие ситуации отодвинуты в сторону, теперь же попробуем приглядеться и к ним.

Актуальные бесконечности логика не любит рассматривать, полагая их немыслимыми по существу. Например, алгебра отказывается использовать соответствующее понятие, ибо, где появляется бесконечность, там рано или поздно обнаруживаются противоречия, парадоксы. Поскольку в нашем случае рабочее уравнение – алгебраическое, постольку и здесь, следуя традиции, следовало бы сразу отбросить бесконечное решение как не имеющее реального смысла. Однако традиции в культуре могут не во всем совпадать с традицией в алгебре, поэтому из осторожности воздержимся заранее отказываться от бесконечности, а за информацией о ней обратимся к смежным разделам математики.

У идеи математической бесконечности долгая предыстория, обязанная, в частности, геометрии, проблеме континуума, но в основном эта история сводилась к тому, как на практике бесконечностей избегать. Архимед, одна из горных вершин античной математики (наряду с Пифагором и Эвклидом), использует при вычислении сложных площадей и объемов так называемый 'атомистический' метод, метод неделимых, оперируя очень малыми, но все же конечными величинами .(1) Для обоснования своего подхода он вводит понятие числа, большего любого другого, но при этом определенного, и пишет специальный трактат – 'Число песка' (о числе, равном количеству песчинок в пустыне). ХVII в. подхватывает эстафету, и Иоганн Кеплер (1571 – 1630), Бонавентура Кавальери (1598 – 1647), Пьер Ферма (1601 – 1665), Блез Паскаль отдают дань учению о неделимых в его различных трактовках.

Европейская математика ХVII – ХVIII вв. развивалась в союзе с механикой, астрономией, и уже до Ньютона, Лейбница была подготовлена почва для будущих дифференциального и интегрального исчислений. По выражению Лейбница, 'после таких успехов науки недоставало только одного – нити Ариадны в лабиринте задач, именно аналитического исчисления по образцу алгебры'. Представления об актуальных бесконечностях – будь то бесконечно малое или бесконечно большое – действительно внутренне противоречивы. Например, бесконечно малая величина – отличная от нуля и в то же время меньшая всякой конечной величины – по существу носит мистический характер, такова же и бесконечно большая. Поэтому им было противопоставлено понятие потенциальной бесконечности.

С историей вопроса читатель либо знаком, либо может познакомиться, например, по очерку Г.М.Фихтенгольца в 'Основах математического анализа' [343]. Методы флюксий и квадратур Ньютона опираются то на потенциальные, то на актуальные бесконечности, и подвести последовательно строгий фундамент под новое исчисление Ньютону так и не удалось. Его великий континентальный соперник Лейбниц испытывал в вопросах обоснования не меньшие затруднения. Используя актуальные бесконечности, критикам он отвечал, что 'бесконечно малые' величины могут быть заменены 'несравнимо малыми', каковыми являются, например, пылинка по отношению к Земле или Земля по отношению к небесному своду. Возможный путь решения Лейбниц иногда видел в том, чтобы считать бесконечно малые 'фиктивными', 'идеальными' понятиями, и даже прибегал к помощи пасующей прагматической эвристики: 'Я высоко ценю старательность тех, которые стремятся все доказать, вплоть до первоначальных положений, и сам нередко прилагаю к этому старания; однако я не советовал бы чрезмерной тщательностью ставить преграды искусству открытия или под этим предлогом отбрасывать наилучшие открытия и самим себя лишать их плодов'' (цит. по: [343, с. 432]).

В таких вещах таятся глубокие логические проблемы, 'проклятые вопросы' мышления, и дело, конечно, не в том, что Ньютон и Лейбниц будто бы с ними 'не справились' – заповедная дверь, или ящик Пандоры, вновь были открыты: еще Зенон из Элеи обнаружил сопутствующие формулы парадокса. В ХIХ в. Огюстен Луи Коши (1789 – 1857), опираясь на декартово понятие переменной величины и на понятие предела, вроде, подвел, наконец, платформу под матанализ и изгнал из него даже скрытую мистику. Матанализ давно и успешно применялся в механике, оптике, астрономии, стали привычными неалгебраические, трансцендентные кривые и уравнения. Практические достижения, подпитываемые здоровым мировоззренческим позитивизмом, на первый взгляд, не давали поводов для беспокойства. Оставалось 'совсем немного' – заполнить брешь в строгом обосновании действительного (вещественного) числа, в установлении непрерывности области таких чисел. Этот вопрос частично затрагивался в разделе 1.3.

Георг Кантор (1845 – 1918) разрабатывает основы теории множеств, оперирует актуальными бесконечностями разных сортов (счетными и несчетными). Формулируется понятие трансцендентной величины (уже не только кривой или уравнения). Проблема континуума, кажется, дрогнула под напором величайших умов. Но вскоре в теории множеств обнаруживаются неразрешимые противоречия – так называемые парадоксы теории множеств, которым уделили значительное внимание, скажем, Б.Рассел, К.Гедель. 'Недоказуемость' или даже 'доказуемость недоказуемости' вновь дали знать о себе.

Человек издавна чувствовал вибрирующий нерв, связанный с представлением бесконечности, – еще до рождения строгой рациональности. Это нашло отражение и в распространенном у древних народов мифологическом образе хаоса.

Почему хаос и бесконечность во многом синонимичны? – По-видимому, из-за 'неорганизованности' бесконечности, из-за ее 'всеохватности'. В