Разбив тонкий слой на подобные пары «противоположных» квадратов, мы установили замечательный факт: тонкий однородный шаровой слой не действует на точку, расположенную внутри него. Но это верно для всех тонких слоев, на которые мы разбили шаровой пояс, лежащий над интересовавшей нас подземной точкой.
Значит, земной слой, находящийся над телом, все равно что отсутствует. Действие отдельных его частей на тело уравновешивается, и суммарная сила притяжения со стороны внешнего слоя равняется нулю.
Конечно, во всех этих рассуждениях мы считали плотность Земли постоянной внутри каждого слоя.
Результат наших рассуждений позволяет легко получить формулу для силы тяжести, действующей на любой глубине
Если бы Земля имела одинаковую плотность во всех слоях, то формула для
где ? – плотность,
Это значит, что
На самом же деле поведение
Средняя плотность Земли легко находится делением массы на объем земного шара. Это приводит нас к цифре 5,52. В то же время плотность поверхностных пород много меньше – она равна 2,75. Плотность земных слоев растет с глубиной. В поверхностных слоях Земли этот эффект берет верх над идеальным уменьшением, которое следует из выведенной формулы, и величина
Энергия тяготения
На простом примере мы уже познакомились с энергией тяготения. Тело, поднятое на высоту
Однако этой формулой можно пользоваться лишь тогда, когда высота
Энергия тяготения – важная величина, и интересно получить формулу ее, которая годилась бы для тела, поднятого на любую высоту над землей, а также вообще для двух масс, притягивающихся по универсальному закону:
Положим, что под действием взаимного притяжения тела немного сблизились. Между ними было расстояние
Если
Эта работа произведена за счет энергии тяготения:
где
Сопоставляя эти две формулы, находим для потенциальной энергии выражение
Оно похоже на формулу силы тяготения, но в знаменателе стоит
По этой формуле при очень больших
А куда же уменьшаться от нуля? В отрицательную сторону. Поэтому в формуле и стоит минус. Ведь ?5 меньше нуля, а ?10 меньше ?5.
Если речь идет о движении около земной поверхности, то общее выражение силы тяготения можно заменить произведением
Но на поверхности Земли тело имеет потенциальную энергию ?? (
Когда мы впервые ввели формулу потенциальной энергии