Следовательно, число b
чётно, а это значит (по той же причине, что и прежде), что число b чётно. Таким образом, оба числа a и b чётны и поэтому имеют общий множитель 2, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, наше исходное предположение ложно.
Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (что их отношение - не рациональное число, что не существует такой единицы длины, целыми кратными которой были бы диагональ и сторона квадрата). Действительно, если мы примем сторону за единицу длины и d - длина диагонали, то по другой хорошо известной теореме, также приписываемой Пифагору(7),
поэтому d не может быть рациональным числом.
Я могу привести сколько угодно красивых теорем из теории чисел, смысл которых может быть понят любым человеком. Например, утверждение, известное под названием 'основной теоремы арифметики', гласит: любое целое число разложимо в произведение простых чисел, причём только одним (с точностью до порядка сомножителей) способом. Например, 666 = 2·3·3·37, и других разложений не существует; разложения 666 = 2·11·29 или 13·89 = 17·73 невозможны (в этом мы можем убедиться, не вычисляя произведения). Эта теорема, о чём свидетельствует её название, служит основой высшей арифметики, но её доказательство, хотя и не является 'трудным', требует некоторых предварительных пояснений и для читателя-нематематика может показаться скучным.
Ещё одним примером знаменитой и красивой теоремы может служить теорема Ферма о двух квадратах. Простые числа (если исключить особое простое число 2) можно разбить на два класса - на простые числа
дающие при делении на 4 остаток 1 и простые числа
дающие при делении на 4 остаток 3. Все простые числа из первого класса можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:
Ни одно простое число из второго класса, например, 3, 7, 11, 19, в виде суммы квадратов двух целых чисел не представимо. (В этом читатель может легко убедиться с помощью проверки). Это утверждение является теоремой Ферма, которую с полным основанием принято считать одной из красивейших в теории чисел. К сожалению, не существует её доказательства, доступного пониманию кого-нибудь, кроме специалистов-математиков.
Красивые теоремы есть и в теории множеств, например, теорема Кантора[117] о несчётности континуума. Здесь трудность прямо противоположная. Доказательство теоремы достаточно просто, если овладеть терминологией теории множеств, но прежде чем смысл теоремы станет ясен, необходимы обширные пояснения. Поэтому я не стану приводить новые примеры. Те же примеры, которые я привёл выше, служат своего рода тестами, и читатель, не способный оценить их по достоинству, вряд ли способен оценить что-нибудь в математике вообще.
Как уже было сказано, математик творит образы из идей, а красота и серьёзность - те критерии, по которым можно судить о создаваемых им образах. Я с трудом поверю, что тот, кто понял две приведённые мной теоремы, станет спорить по поводу того, что они удовлетворяют критериям красоты и серьёзности. Если сравнить их с самыми остроумными головоломками Дьюдени или с лучшими шахматными задачами, составленными мастером этого жанра, то превосходство теорем и в красоте, и в серьёзности станет явным: сказывается безошибочное различие в классе. Теоремы гораздо более серьёзны, а также гораздо более красивы. Можно ли определить, в чём заключается превосходство теорем чуть более подробно?
14
Прежде всего математические теоремы имеют явное и подавляющее превосходство в серьёзности. Шахматная задача - продукт очень ограниченного комплекса остроумных идей, которые отличаются одна от другой не слишком фундаментально и не имеют внешних последствий. Мы мыслили бы так же, даже если бы шахматы никогда не были изобретены, в то время как теоремы Евклида и Пифагора оказали глубокое влияние на человеческую мысль даже за пределами математики.
Таким образом, теорема Евклида имеет жизненно важное значение для всей структуры арифметики. Прямые числа - тот сырой материал, из которого мы должны строить арифметику, и теорема Евклида убеждает нас в том, что для выполнения этой задачи мы располагаем достаточным количеством сырья. Но теорема Пифагора имеет более широкий круг приложений и более приятную формулировку.
Следует заметить, что предложенное Пифагором доказательство допускает далеко идущее обобщение и после небольшого изменения основного принципа может быть применено к весьма широкому классу 'иррациональных чисел'. По аналогии с доказательством Пифагора, мы можем доказать (как это, по- видимому, сделал Теэтет[118]), что числа
иррациональны или (выходя за рамки доказанного Теэтета), что числа 
иррациональны(8).
Теорема Евклида говорит нам о том, что в нашем распоряжении имеется достаточный запас материала для построения непротиворечивой арифметики целых чисел. Теорема Пифагора и её обобщения говорят нам о том, что, когда мы построим арифметику целых чисел, она окажется недостаточной для наших целей, так как существует множество величин, привлекших наше внимание, которые мы не сможем измерить в целых числах. Диагональ квадрата - лишь самый очевидный пример. Глубокое значение этого открытия было сразу осознано древнегреческими математиками. Сначала они предполагали (в соответствии, как я предполагаю, с 'естественными' требованиями 'здравого смысла'), что все величины одного и того же рода соизмеримы, например, что любые две величины длины кратны одной и той же общей единице длины, и, исходя из этого допущения, построили теорию пропорций. Открытие Пифагора показало, что это допущение не верно, и привело к построению гораздо более глубокой теории Евдокса[119], изложенной в кн. V 'Начал' Евклида. В наше время многие математики считают теорию Евдокса прекраснейшим достижением древнегреческой математики. Эта теория поразительно современна по духу и может рассматриваться как предтеча современной теории иррациональных чисел, совершившей переворот в математическом анализе и оказавшей сильное влияние на философию новейшего времени.
Впрочем, в 'серьёзности' любой из теорем нет никаких сомнений, и поэтому мы лучше заметим, что ни одна из теорем не имеет ни малейшего 'практического' значения. В практических приложениях нас интересуют лишь сравнительно небольшие числа. Только звёздная астрономия и атомная физика оперируют с 'большими' числами, но и эти науки, по крайней мере ныне, едва ли имеют большее практическое
