геометрии таким способом, который остается свободным от примеси бесконечности. — Этот способ сводит доказательства к вышеупомянутой обычной форме наложения фигур, т. е., как мы заметили выше, к представлению об определенности как о внешней пространственной границе.
Относительно этой формы наложения можно, прежде всего, сделать еще и то замечание, что она есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей известные три принимаются равными соответствующим трем частям другого треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собою, т. е., что каждый из них имеет равными с другим также и прочие три части, так как они вследствие равенства тех трех первых частей полностью налагаются друг на друга. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что именно вследствие равенства каждой пары соответствующих частей двух треугольников имеется только один треугольник; в последнем три части принимаются нами за уже определенные, из чего следует определенность также и трех остальных частей.
Здесь таким образом показывается, что в трех частях опре-
{360}
деленность завершена; стало быть, для определенности как таковой три остальные части представляют собою некоторое излишество — излишество чувственного существования, т. е. созерцания непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность выступает здесь в своем отличии от того, что предлежит в созерцании, от целого как некоторого непрерывного внутри себя; наложение мешает осознать это различие.
Вместе с параллельными линиями и «в параллелограмах появляется, как мы заметили, новое обстоятельство, заключающееся отчасти в равенстве одних только углов, отчасти же в том значении, которое имеет высота фигур, причем внешние границы последних, стороны параллелограмов, отличны от высоты. При этом делается явственной имеющаяся здесь двусмысленность, состоящая в вопросе о том! в какой мере в этих фигурах — кроме определенности одной стороны, основания, которое есть внешняя граница, — следует в качестве другой определенности принимать другую внешнюю границу (а именно, другую сторону параллелограмм) и в какой мере — высоту. Если даны две такие фигуры, имеющие одинаковые основания и высоты, причем одна из них прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть,
с очень тупыми углами на другом конце), то последняя фигура легко может показаться созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую большую сторону как определяющую и поскольку оно согласно способу представления Кавальери сравнивает площади по некоторому множеству параллельных линий, которыми они могут быть пересечены. Согласно этому способу представления более длинная боковая сторона остроугольного параллелограма могла бы рассматриваться как возможность большего количества линий, чем то количество линий, возможность которого содержится в вертикальной стороне прямоугольника.
Однако, такое представление не служит возражением против метода Кавальери; ибо представляемое в этих двух параллелограмах с целью сравнения множество параллельных линий предполагает вместе с тем одинаковость их расстояний друг от друга дли от основания, ив чего следует, что
{361}
другим определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограма. Но это, далее, меняется, когда мы сравниваем между собою два параллелограма,
имеющие одинаковые основания и «высоты, но не лежащие в одной плоскости и образующие с третьей плоскостью разные углы; здесь параллельные сечения, возникающие, когда представляют себе их пересеченными третьей плоскостью, движущейся параллельно себе самой, уже не одинаково удалены одно от другого, и эти две площади неравны между собою. Кавальери тщательно обращает внимание читателя на это различие, которое он определяет как различие между transitus rectus (прямым переходом) и transitus obliquus (косвенным переходом) неделимых (как в ExerciL I п. XII и сл., — так уже и в Geometr., I, II) и этим он устраняет поверхностное недоразумение, могущее возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем вышеупомянутом сочинении (Lect. Qeom.,??. 21), хотя также пользуется методом неделимых, но, нарушая его чистоту, соединяет его с перешедшим ог него к его ученику Ньютону и к другим современным ему математикам, в том числе к Лейбницу, допущением возможности приравнять криволинейный треугольник, как например так называемый характеристический, прямоугольному, поскольку оба бесконечно, т. е. очень малы, — я припоминаю, что Барроу приводит идущее именно в том же направлении возражение Такэ, остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми методами. Указываемое последним затруднение касается также вопроса о том, какую линию, — а именно при вычислении конических и сферических поверхностей— следует принимать за основной момент определения для рассуждения, основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода неделимых, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса по этому атомистическому методу тот треугольник, который получается при продольном рассечении конуса, изображается: составленным из прямых линий, параллельных основанию, перпендикулярных к оси и представляющих собою вместе с тем радиусы тех кругов, из которых состоит поверх362 ность конуса. Но если эта поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из числа их радиусов, т. е. из длины оси конуса, ив его высоты, то получаемый результат противоречит найденной и доказанной Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу, напротив, показывает, что для определения поверхности конуса не его ось, а сторона того треугольника, который получается при продольном рассечении конуса, должна быть принимаема за ту линию, вращение которой производит эту поверхность и которая поэтому, а не ось, должна считаться определенностью величины для множества окружностей.
Подобного рода возражения или сомнения имеют свой источник единственно только в употребляемом неопределенном представлении бесконечного множества точек, из которых считается состоящей линия, или линий, из которых «считается состоящей площадь; этим представлением затушевывается существенная определенность величины линий или площадей. — Целью настоящих примечаний было вскрыть те утвердительные определения, которые при различном употреблении бесконечно-малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их от того тумана, в который их закутывает эта применяемая в чисто отрицательном смысле категория. В бесконечном ряде, как например, в архимедовом измерении круга, «бесконечность» не означает ничего другого, кроме того, что закон дальнейшего определения известен, но так называемое конечное, т. е.
арифметическое выражение, не дано, сведение дуги к прямой линии не может быть осуществлено; эта несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще равным образом содержит в себе некоторое отрицательное определение, которое приводит к тому, что они выступают как несоизмеримые, и влечет за собою бесконечное в том смысле, что то непрерывное, которое должно быть принимаемо за дискретное, не должно уже более быть по своей непрерывной определенности определенным количеством. Непрерывное, которое арифметически должно быть принимаемо за произведение, тем самым пола-
{363}
гается в самом себе дискретным, а именно разлагается на тс элементы, которые составляют его множители; в этих множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они суть эти множители или элементы, они принадлежат к низшему измерению, а поскольку появляется степенная определенность, имеют степень низшую, чем та величина, элементами или» множителями которой они являются. Арифметически это различие представляется чисто количественным различием корня и степени или какой- нибудь другой стеленной определенности. Но если это выражение имеет в виду лишь количественное как таковое, например а: а2 или d. а2 = 2а: а2 = 2: я, или для закона падения тел t: at2y то оно дает лишь ничего не говорящие отношения 1: я, 2: я, \at в противоположность своему; чисто количественному определению члены отношения должны были бы быть удерживаемы врозь своим различным качественным значением, как например в 5: я*2, где величина выражается как некоторое качество, как функция величины некоторого другого качества. При этом перед сознанием стоит исключительно только количественная определенность, над которой без затруднения производятся подобающие действия, и можно с чистой совестью умножать величину одной линии на величину другой линии; но в результате умножения этих самых величин получается вместе с тем качественное изменение,
