геометрическим путем и посредством метода бесконечно малых разностей, аналитики доказывают, что эти результаты тожественны, и что бoльшая или меньшая степень точности не имеет здесь места. С другой стороны самый прием — пренебрегать величинами вследствие их незначительности — несмотря на оправдание результатами, не может не вызывать протеста. И в этом заключается трудность, побуждающая аналитиков понять и удалить заключающуюся здесь нелепость.
По этому вопросу следует, главным образом, привести мнение Эйлера. Полагая в основание общее определение Ньютона, он настаивает на том, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений некоторой величины, причем однако, бесконечно малая разность, как таковая, есть совершенный нуль (Instit. calc. different. Р. I. С. III). Как это следует понимать, видно из вышеизложенного; бесконечно малая разность есть нуль лишь по количеству, а не качественный нуль; но как нуль по количеству она есть лишь чистый момент отношения. Она не есть различие на некоторую величину; но именно потому с одной стороны вообще ошибочно называть эти моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также приращениями и убываниями и разностями. В основе этого определения лежит то предположение, что нечто прибавляется к предварительно данной конечной величине или убавляется от нее, что происходит вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Переход от функции переменной величины к ее дифференциалу должно, напротив, пони{173}мать так, что последний имеет совершенную отличную от нее природу, именно, как было объяснено, что он есть возврат конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. С другой стороны, ошибочным оказывается и то, когда говорят, что приращения суть для себя нули, что следует принимать в расчет лишь их отношения; ибо нуль вообще не имеет никакой определенности. Хотя это представление и доходит таким образом до отрицания количественного и определенно высказывает его, но оно не схватывает этого отрицания вместе и в его положительном значении качественно-количественных определений, которые становятся нулями, лишь будучи вырваны из отношения и приняты за определенные количества.
Лагранж (Theorie des fonct. analyt. Introduction) говорит о представлении предельных или последних отношений, что если и возможно представить себе отношение двух величин, покуда они остаются конечными, то в рассудке не получается никакого отчетливого и определенного понятия об этом отношении, коль скоро его члены остановятся нулями. Действительно, рассудок должен возвыситься над тем простым отрицанием, по которому члены отношения, как определенные количества, суть нули, и понять их положительно, как качественные моменты. А то, что Эйлер (там же § 84 и сл.) прибавляет далее относительно данного им определения для того, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые величины, которые должны быть не чем иным, как нулями, находятся однако во взаимном отношении и потому для них допустимы не только знак нуля, но и другие знаки, не может считаться удовлетворяющим мысль. Он хочет обосновать это на различии арифметического и геометрического отношения; при первом мы обращаем внимание на разность, при втором — на частное, и хотя первая между двумя нулями также равна нулю, но этого нельзя сказать о геометрическом отношении; если 2:1=0:0, то по свойству пропорции, так как первый член вдвое более второго, и третий член должен быть вдвое более четвертого; потому на основании этой пропорции отношение 0:0 должно быть равно отношению 2:1. Так и по обычной арифметике n:0=1:0[23], следовательно, n:1=0:0. Однако именно потому что 2:1 или n:1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0:0.
Я воздерживаюсь от дальнейших ссылок, так как сказанное в достаточной степени обнаруживает, что они, без сомнения, имеют дело с истинным понятием бесконечного, но что это понятие не выделено и не понято в своей определенности. Поэтому, когда совершается переход к самим действиям, то нельзя ожидать, чтобы в них проявлялось истинное определение понятия; напротив, в нем возвращаются к конечной определенности количества, и действие не может освободиться от представления лишь относительно малого. Исчисление приводит к необходимости подвести так называемые бесконечные величины под обычные арифметические действия сло{174}жения и т. п., применяемые к природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признать первые величины конечными и обращаться с первыми, как со вторыми. Требовалось бы оправдать исчисление в том, что оно, с одной стороны, понижает бесконечные величины в сферу конечности и обращается с ними, как с приращениями или разностями, а с другой стороны, применив к ним формы и законы конечных величин, пренебрегает ими, как определенными количествами.
Я привожу еще наиболее существенное о попытках геометров устранить эти затруднения.
Более старые аналитики не затрудняли себя по этому доводу большими сомнениями; но старания более новых были направлены главным образом к тому, чтобы привести исчисление бесконечных к очевидности собственно геометрического метода и достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражение Лагранжа). Но так как принцип анализа бесконечных выше, чем принцип математики конечных величин, то первый сам собою немедленно должен был отказаться от этого рода очевидности; подобно тому, как философия не может притязать на такую отчетливость, какую имеют науки о чувственном, напр., естествознание, или как еда или питье считаются за более рассудительные занятия, чем мышление и понимание. Поэтому можно говорить лишь о старании достигнуть строгости доказательств древних.
Многие пытались совершенно обойтись без понятия бесконечного и достигнуть без него тех же результатов, какие достигаются при его употреблении. Лагранж говорит, например, о методе, изобретенном Ланденом, и объясняет, что этот метод совершенно аналитический и не прибегает к бесконечно малым разностям, но сначала вводит различные значения переменных величин, а потом приравнивает их между собою. Впрочем, Лагранж заявляет, что при этом утрачиваются преимущества, свойственные дифференциальному исчислению, — простота метода и легкость действий. Этому приему отчасти соответствует тот, от которого исходит Декарт в своем методе касательных, о коем будет еще подробнее сказано далее. Здесь можно заметить, — что и теперь уже в общем ясно, — что вообще метод, состоящий в том, чтобы придавать различные значения переменным величинам и затем приравнивать их одну другой, принадлежит другому кругу математических соображений, чем метод самого дифференциального исчисление, и что первым не обращается внимания на подлежащую далее ближайшему рассмотрению особенность того простого отношения, к которому приводится его истинно конкретное определение, — именно отношения производной функции к первоначальной.
Старейшие из новых, напр., Ферма, Барроу и др., которые впервые воспользовались применением бесконечно малых к тому, что впоследствии выработалось в дифференциальное и интегральное исчисление, затем также Лейбниц и др., равным образом Эйлер, постоянно открыто признавали возможным пренебрегать произведениями бесконечно малых разностей так же, {175}как и наивысшими степенями, лишь потому, что они могут считаться исчезающими относительно низших степеней. У всех них это является единственным основоположением, именно определением того, что такое дифференциальные произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Прочее есть отчасти механизм действий, отчасти приложение, к которым однако, как будет показано далее, в действительности и сводится главный или, правильнее сказать, единственный интерес. В настоящее время достаточно провести лишь элементарное положение, что по тому же основанию незначительности, как главного положения, касающегося кривых, признается, что элементы кривых, именно приращения абсциссы и ординаты, имеют между собой то же отношение, как подкасательная и ордината; с целью получить подобные треугольники дуга, составляющая с обоими приращениями третью сторону треугольника, правильно названного перед тем характеристическим треугольником, принимается за прямую линию, за часть касательной, и потому одно из приращений за доходящее до касательной. Этими допущениями определения, с одной стороны, возвышаются над свойствами конечных величин; но с другой
