Джироламо Кардано

членов, то есть сокращении равных членов в обеих частях уравнения. Выполнив, например, преобразования уравнения х2 + 2х – 5х = 4 (х 2 + 2х = 4 + 5х и х2 = 4 + 3х), мы произведем операции ал-джабр и ал-мукабала соответственно. В «Краткой книге» содержались методы решения уравнений первой и второй степени, которые автор приводил в числовой форме, но сопровождал геометрическими доказательствами, заимствованными арабской наукой у древних греков. Сочинение «Мухаммеда, сына араба Мусы», переведенное на латинский язык, пользовалось большой известностью в средневековой Европе. Поначалу переводчики полностью переписывали заглавие «Краткой книги», но постепенно вторая часть стала воспроизводиться все реже и, наконец, совсем исчезла. Осталось только слово «ал-джабр», которое затем превратилось в «алгебру». Аналогично слово «алгорифм» (алгоритм) произошло от «ал-Хорезми». Интересно, что «ал-джабр» имеет также смысл «исправление того, что сломано». Историк математики В. П. Шереметьевский указывал, что в народном испанском языке слово algebraista означает «костоправ» (напомним, что Санчо Панса искал для побитого Дон Кихота «алгебраиста»).

Алгебраические термины, которые использовали переводчики ал-Хорезми, представляли собой латинские эквиваленты арабских слов, обозначающих те же понятия. Неизвестная называлась res (вещь), или radix (корень), квадрат неизвестной – census (имущество), куб – cubus (куб), постоянная в уравнении – numerus (числа). Позднее итальянские математики использовали вместо латинского res народное cosa и иногда именовали алгебру arte delta cosa. Немцы в XV веке исказили cosa в coss, поэтому немецких алгебраистов называли также и «коссистами». Упоминается «коссическое искусство», или «косс», и в первом русском учебнике по математике Леонтия Филипповича Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славенский язык переведеная и во едино собрана, и на две книги разделена».

Спустя примерно 350 лет после смерти ал-Хорезми результаты арабских алгебраистов изложил в своей «Книге абака» некий Леонардо, сын купца Боначчи из Пизы, известный в истории математики как Леонардо Пизанский, или Фибоначчи. Его сочинение во многом способствовало усилению интереса европейцев к алгебре и появлению других алгебраических работ. Европейская алгебра (как, впрочем, и арабская) вплоть до XV века не использовала символы, поэтому уравнения записывались в словесной форме. Например, запись x2 + qx = r выглядела так: census et radices aequantur numeris (квадрат и корни равны числам). Символическая алгебра впервые появилась в книге «Сумма» Луки Пачоли. Ее автор рассматривал правила решения уравнений первой и второй степени, а также некоторых частных видов уравнений четвертой степени. В соответствии с традицией, идущей от ал-Хорезми, он указывал для квадратных уравнений два корня, но отрицательный опускал; не рассматривались им также корни, равные нулю. Что же касается уравнений третьей степени, то, как мы уже говорили, Пачоли отрицал возможность их решения. «Сумма» как бы подводила итог результатам, полученным в алгебре до XV века. На это сочинение опирались в своем творчестве выдающиеся итальянские алгебраисты XVI века – дель Ферро, Тарталья, Кардано и Бомбелли.

Основная алгебраическая проблема, занимавшая Кардано, – изыскание способов решений уравнений третьей и четвертой степеней. В соответствии с математическими традициями своего времени он рассматривал только уравнения с положительными коэффициентами, поэтому, например, уравнение x3 + qx + r = 0 распадалось у него на три отдельных случая: x3 + qx = r; x3 = qx + r; x3 + r = qx (эти уравнения вслед за Кардано мы будем называть в дальнейшем «уравнениями Тартальи»). Крометого, он никогда не записывал уравнения в канонической форме,[53] но следил, чтобы коэффициент при старшей степени неизвестной был равен единице. Математическая символика Кардано заимствована в основном у Пачоли.

Первые попытки решения кубического уравнения были сделаны уже в «Практике арифметики». Правда, Кардано удалось справиться лишь с уравнениями частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают внимания, так как впоследствии он с успехом использовал их и в «Великом искусстве». Он подметил, что кубическое уравнение иногда удается решить, если добавить в обе его части одно и то же выражение, так чтобы образовался общий делитель, который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного. Например, если в обе части уравнения 2х3 + 4х2 + 25 = 16х + 55 добавить 2х2 + 10х + 5, то после простейших преобразований можно получить (2х + 6) (х2 + 5) = (2х + 6) (х + 10) или х2 + 5 = х +10, откуда

Но частный результат, каким бы изящным методом он ни достигался, не идет ни в какое сравнение с общей формулой решения, которую Кардано так и не удалось отыскать. Поэтому можно представить себе его возбуждение, когда он узнал, что подобной формулой владеет простой учитель арифметики. В конце концов Миланцу удалось заполучить «великий секрет», и с этого времени начался второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества.

Чтобы не «перегружать» математическими подробностями текст настоящей книги, предназначенной для широкой читательской аудитории, отсылаем тех, кого интересует рассказ о результатах, полученных миланским врачом и его учеником Феррари (нашедшим метод решения уравнения четвертой степени), к соответствующей литературе.[54] Отметим лишь, что предложенный Кардано прием искусственных подстановок оказался весьма плодотворным для дальнейшего развития алгебры. Он стал той почвой, на которой великому французскому математику Франсуа Виету (1540–1603) удалось создать применяемый и ныне «общий способ преобразования уравнений».

Но заслуги миланского врача этим не ограничиваются: он первым из математиков не только дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений. И в этом главная историческая ценность «Великого искусства».

Определенных успехов Кардано достиг и в других областях математики.

В «Новом сочинении об отношениях чисел» он касался некоторых вопросов комбинаторики, основываясь главным образом на рассмотрении свойств таблицы биноминальных коэффициентов, получившей впоследствии название «треугольника Паскаля». Этот «треугольник» до него уже был опубликован М. Штифелем (1549), И. Шейбелем (1545), Ж. Пелетье (1549), Хр. Рудольфом (1553) и Н. Тартальей (1556). Кардано выписал все пятнадцать сочетаний из шести элементов по два, утверждая без доказательства справедливость соотношения С1n + С2n +... + Сnn, = 2n-1; наконец, привел правило для нахождения элементов «треугольника Паскаля», из которого следует, что ему было известно важное соотношение

Если бы Кардано применил это правило для разложения двучленов, он мог бы предвосхитить биноминальную теорему для положительных степеней. Но вместо этого он обратился к примерам использования чисел «треугольника» в музыкальных гармониях.

До появления методов анализа бесконечно малых комбинаторика являлась основным аппаратом теории вероятности – еще одним разделом математики, привлекавшим внимание Кардано.[55] Он рассматривал некоторые вероятностные задачи, связанные с игровыми ситуациями, в «Практике арифметики», причем, как утверждают некоторые историки математики, фактически уже пользовался теоремой сложения вероятностей, которая появилась значительно позже.

Существенным шагом в развитии вероятностных представлений явилась его «Книга об игре в кости». Тридцать две ее главы посвящены истории азартных игр, тому, как распознавать мошенников и помешать их замыслам,[56] о чем наглядно свидетельствуют названия некоторых глав – «Мошенничество», «Условия, при которых стоит играть», «Об одной ошибке...», «Об обманах...». Кардано рассказывал и о психологии игры (глава «О характере игроков»), и об отличии игры в карты от игры в кости («Игра в кости – открытая, а вот игра в карты ведется из-за укрытия»). В той части книги, которая посвящена стратегии игры, Кардано рассматривал задачи, связанные с бросанием двух и трех игральных костей и выпадением на верхних гранях определенного числа очков.

Значимость исследований Миланца высоко оценивается специалистами. Так, Л. Е. Майстров писал: «Работа Кардано – существенный шаг в развитии вероятностных понятий и представлений. Он сделал