связана с поверхностью кольца, то там вообще сложная, но двухмерная задачка. Все зависит от формы и полноты задания граничных условий и даже от более точного определения, что считать наружной, а что — внутренней стороной.
Гипотеза Пуанкаре о соразмерности топологически разных объектов также является очень важной практической задачей реальной человеческой деятельности. Например, как из материала поверхности шара скроить тороид, при этом выполнив какой-то критерий вроде одного разреза или равенства площадей поверхностей. Однако перевод решения в N-мерное (более трех) пространство делает эту задачу более подходящей для развития математической логики, а не для решения практических задач, реализация которых все равно происходит в трехмерном мире.
В следующей задаче производится попытка связать законы микро- и макромиров на основе системы непротиворечивых уравнений.
Уравнение Навье — Стокса
Сразу отметим, что в поставленной коллективом ученых из Clay Mathematics Institute задаче отсутствует математическая запись уравнения, которое должно быть уточнено или расширено (этим, кстати говоря, грешат многие заказчики научных и технологических решений, не затрудняющие себя определением граничных условий задачи, тем самым-как бы «размывая» цель исследования и затрудняя поиск приемлемого ответа). Э го также дает возможность недобросовестному заказчику отказать в выдаче обещанного вознаграждения.
В каноническом виде уравнение Навье — Стокса определяет движение несжимаемой вязкой жидкости и записывается в виде
где v — вектор скорости;
В соответствии с определением в исследуемой жидкости должно выполняться условие несжимаемости
divV = 0
соответствующее определению «ньютоновской жидкости», и условие распределения напряжений, соответствующее определению «ньютоновской жидкости».
При движении потоков вблизи твердых границ на неподвижных границах за счет прилипания частиц выполняется условие прилипания
а на подвижных границах
V = Vt
где Vt — скорость точек твердой поверхности.
Таким образом, получается замкнутая система уравнений, позволяющая при определенных граничных условиях вычислить сопротивление в канале или для тел, движущихся в вязкой жидкости. Ограничениями, влияющими на точность решения, являются:
• узкие рамки исследуемого диапазона скоростей: например, для газов
• нелинейные геометрические эффекты — вихревые системы за движущимся или обтекаемым телом, геометрические характеристики которого определяются взаимозависимыми характеристиками, в первую очередь, скоростями в потоке;
• нелинейные динамические эффекты — отрыв и перенос вихрей, изменение температуры, рассеивание энергии в потоке и на границах;
• нелинейные физические эффекты — изменения физических и химических свойств жидкостей и газов (коэффициентов взаимодействия, фазовых состояний, растворимости и т. д.).
Численные решения подобных задач обычно выполняются на основе конечно-разностных аппроксимаций с точностью 3-15 % в зависимости от практической необходимости и геометрической сложности исследуемой области.
Линеаризация в пределе дает систему уравнений Эйлера. Если ее расширить с использованием теории пограничного слоя Прандтля и многочисленных, но частных случаев решений вихревых движений, то получится математическая модель движения вязкой жидкости. Однако и в этом случае появляется ряд неувязок (парадоксов), описанных Г. Биркгофом.
Школа гидро- и аэродинамиков Ленинграда — Санкт-Петербурга достигла определенных результатов в решении частных случаев этих задач и расширении рамок применения уравнения. Однако игнорирование или незнание этого выглядит весьма странно, гак как результаты публикуются в научных трудах в России: успехи российских ученых не были замечены в Clay Mathematics Institute. Автор рекомендовал бы специалистам института ознакомиться, например, с работами А. О. Дитмана, опубликованными в Ленинграде в 1900–2000 гг., а также работой В. Д. Савчука, вышедшей в свет в г. Дубне (Московская обл.) в 1999 г., внесших ряд существенных уточнений как в математическую постановку, так и в способы практического решения уравнения Навье — Стокса.
Численное решение может быть получено на аналоговых электромагнитных интеграторах, использующих в качестве моделируемой области непрерывные среды (полевые структуры). Разработка серии таких устройств, используемых для решения прикладных задач аэро- и гидродинамики, электромашиностроения, геологоразведки, теории упругости и т. д., давно и успешно ведется учеными Санкт-Петербурга.
Краткий вывод
Автор с сожалением отмечает, что на современном этапе развития науки практически не разработаны ни методология подхода к решению задач, ни методология самих решений. Мы видим две крайности — либо заказ решения узкоспециализированной технической задачи без учета использования возможностей решения в иных областях и оставление без внимания побочных (очень часто вредных) эффектов, либо попытки быстро и без особых затрат вывести некие аналогии «универсальных формул всего» для какой-то отдельно взятой области знания или для Вселенной в целом. Ничего хорошего ни тот ни другой пути не несут: первый загоняет человечество в тупик чисто машинной цивилизации и грозит катастрофой, второй дает необоснованные надежды на мгновенное и безболезненное решение всех вопросов, то есть своеобразную «халяву». А «халявы» в природе не бывает. Без широких исследований в пограничных областях знаний (с обязательной экспериментальной проверкой математических решений в нашем трехмерном мире) и без использования всех трех подходов — аналогового, аналого-цифрового и цифрового — нормальное, научно честное изучение Вселенной просто-напросто невозможно.
БИБЛИОГРАФИЯ
