Иногда исследователи применяют численные методы удаления выбросов. К сожалению, в общем случае определение выбросов субъективно, и решение должно приниматься индивидуально в каждом эксперименте с учетом его особенностей или сложившейся практики в данной области. Во многих случаях первый шаг анализа состоит в вычислении корреляционной матрицы всех переменных и проверке значимых (ожидаемых и неожиданных) корреляций. После того как это сделано, следует понять общую природу обнаруженной статистической значимости и понять, почему одни коэффициенты корреляции значимы, а другие нет. Однако следует иметь в виду, если используется несколько критериев, значимые результаты могут появляться часто, и это будет происходить чисто случайным образом. Например, коэффициент, значимый на уровне 0,05, будет встречаться чисто случайно один раз в каждом из 20 подвергнутых исследованию коэффициентов. Поэтому следует подходить с осторожностью ко всем непредсказанным или заранее не запланированным результатам и погштаться соотнести их с другими (надежными) результатами. В конечном счете самый убедительный способ проверки состоит в проведении повторного экспериментального исследования. Такое положение является общим для всех методов анализа, использующих множественные сравнения и статистическую значимость.
Следует иметь в виду, что коэффициенты корреляции не являются аддитивными: усредненный коэффициент корреляции, вычисленный по нескольким выборкам, не совпадает со средней корреляцией во всех этих выборках. Причина в том, что коэффициент корреляции не является линейной функцией величины зависимости между переменными. Коэффициенты корреляции не могут быть просто усреднены. Для получения среднего коэффициента корреляции следует преобразовать коэффициенты корреляции каждой выборки в такую меру зависимости, которая будет аддитивной. Например, до того как усреднить коэффициенты корреляции, их можно возвести в квадрат, получить коэффициенты детерминации, которые уже будут аддитивными. Если необходимо выявить различия средних в нескольких исследуемых группах, то подходящим является однофакторный дисперсионный анализ, дающий различие дисперсий. Дисперсионный анализ – это статистический метод изучения влияния отдельных переменных на изменчивость измеряемой (исследуемой) переменной.
Апостериорные сравнения средних после получения статистически значимого результата в дисперсионном анализе позволяют узнать, какие средние вызвали наблюдаемый эффект. Процедуры апостериорного сравнения специально рассчитаны так, чтобы учитывать более двух выборок. Группировку с дискриминант–ным анализом можно рассматривать как первый шаг к другому типу анализа – дискриминативному, который исследует различия между группами с помощью значений независимой переменной. Именно, в дискриминантном анализе находят такие линейные комбинации зависимых переменных, которые наилучшим образом определяют принадлежность наблюдения к определенному классу, причем число классов задается заранее.
Дискриминантный анализ используется для принятия решения о том, какие переменные различают (дискриминируют) две или более возникающие совокупности (группы). Например, некий исследователь в области образования может захотеть исследовать, какие переменные относят выпускника средней школы к одной из трех категорий: 1) поступающий в колледж; 2) поступающий в профессиональную школу; 3) отказывающийся от дальнейшего образования или профессиональной подготовки. Для этой цели исследователь может собрать данные о различных переменных, связанных с учащимися школы. После выпуска большинство учащихся, естественно, должны попасть в одну из названных категорий. Затем можно использовать дискриминантный анализ для определения того, какие переменные дают наилучшее предсказание выбора учащимися дальнейшего пути. Например, предположим, что имеются две совокупности выпускников средней школы – те, кто выбрал поступление в колледж, и те, кто не собирается это делать. Если средние для двух совокупностей (тех, кто в настоящее время собирается продолжить образование, и тех, кто отказывается) различны, то это позволяет разделить учащихся на тех, кто собирается и кто не собирается поступать в колледж (и эта информация может быть использована членами школьного совета для подходящего руководства соответствующими учащимися).
Дисперсионный анализ, в частности, позволяет выявить, являются ли две или более совокупности значимо отличающимися одна от другой по среднему значению какой–либо конкретной переменной. Для изучения вопроса о том, как можно проверить статистическую значимость отличия в среднем между различными совокупностями, должно быть ясно, что если среднее значение определенной переменной значимо различно для двух совокупностей, то переменная их разделяет.
При применении дискриминантного и дисперсионного анализа обычно имеются несколько переменных, и задача состоит в том, чтобы установить, какие из них вносят существенный вклад в дискриминацию между совокупностями. Если анализируется влияние нескольких переменных, то проводится пошаговый факторный анализ. В пошаговом анализе модель дискриминации (дискриминантных функций) строится по шагам. Точнее, на каждом шаге просматриваются все переменные и находится та из них, которая вносит наибольший вклад в различие между совокупностями. Эта переменная должна быть включена в модель на данном шаге, а далее осуществляется переход к следующему шагу. В общем, получается линейное уравнение типа:
Группа =
где
Главными целями факторного анализа являются сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных. Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных, или как метод классификации (Wherry, 1984). Факторный анализ рассматривается как метод редукции данных. Например, измерение роста людей в дюймах и сантиметрах: имеются две переменные. Если исследовать, например, влияние различных пищевых добавок на рост, нужно ли использовать обе переменные? Вероятно, нет, так как рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется. Итак, фактически сократили число переменных и заменили две одной. Если пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе.
Факторный анализ как метод классификации включает как анализ главных компонентов, так и анализ главных факторов. Чтобы проиллюстрировать, каким образом это может быть сделано, производятся действия в обратном порядке, т. е. начинают с некоторой осмысленной структуры, а затем смотрят, как она отражается на результатах. Действительные значения факторов можно оценить для отдельных наблюдений путем выделения главных факторов. На языке факторного анализа доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам, называется общностью. Поэтому дополнительной работой, стоящей перед исследователем при применении этой модели, является оценка общностей для каждой переменной, т.е. доли дисперсии, которая является общей для всех пунктов. Доля дисперсии, за которую отвечает каждый пункт, равна тогда суммарной дисперсии, соответствующей всем переменным, минус общность.
Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов используется только изменчивость переменной, общая и для других переменных. Анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных.
Для определения того, к какой группе наиболее вероятно может быть отнесен каждый объект, предназначены функции классификации, их выделяется столько же, сколько требуется групп по общим признакам. Каждая функция позволяет для каждого образца и для каждой совокупности вычислить веса классификации по формуле:
