Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

z боковые ребра образовавшейся пирамиды, если ее вершиной считать вершину данного трехгранного угла. Тогда объем этой пирамиды равен ^xyz/₆. Поскольку все плоские углы, образующие трехгранный угол, прямые, имеем

x? + y? = a?, y? + z? = b?, z? + x? = с?.

Сложим эти уравнения, найдем x? + y? + z? = ?(а? + b? + с?). Теперь легко определить x, y и z. Таким образом,

Если треугольник в сечении тупоугольный и а ? b < с, то а? + b? < с?, т. е. первая скобка под корнем отрицательна, в то время как остальные положительны. Если же треугольник в сечении прямоугольный, то одна из скобок обращается в нуль. Таким образом, нет сечения трехгранного угла, которое не было бы остроугольным треугольником.

3.28. Осуществив построения, изображенные на рис. P.3.28, постараемся вычислить объем данной пирамиды как удвоенный объем пирамиды AODC с вершиной в точке A (равенство объемов AODC и BODC станет очевидным из дальнейшего). Докажем вначале, что AFBE — прямоугольник. Из равенства треугольников CFB и DEA следует, что EA = BF. Аналогично BE = FA. Следовательно, AFBE — параллелограмм. Но EF = AB, а потому эта фигура — прямоугольник. Чтобы найти площадь треугольника DOC, нужно вычислить его высоту CF, для чего достаточно знать стороны прямоугольника AFBE.

Отрезок CF может быть найден из двух прилегающих к нему прямо угольных треугольников. С одной стороны, CF? = BC? ? BF?, с другой стороны, CF? = AC? ? AF?, т. е. BF? ? AF? = а?? b?.

Составим систему уравнений:

из которой найдем BF? = ?(а? ? b? + с?), AF? = ? (с? ? а? + b?). Теперь можно вычислить CF и AK:

CF? = а? ? ?(а? ? b? + с?) = ?(а? + b? + с?),

Объем пирамиды ABCD равен 2 · ?AK (?DC · CF).

Ответ.

3.29. Расположим пирамиду ABCD так, как показано на рис. P.3.29, а. Воспользуемся методом сравнения объемов по отношению к телу ANBMCD.

С одной стороны, его можно рассматривать как составленное из двух пирамид с общим основанием MNCD и с вершинами в точках A и B. Основание MNCD — прямоугольник с известными сторонами. Высотами будут перпендикуляры AK и BL, опущенные на MN (рис. P.3.29, б). Так как нам нужна сумма объемов двух пирамид с общим основанием, то выразим AK + BL через AB и sin ?. Тогда объем нашего тела будет выражен через ?.

С другой стороны, V_ANBMCD = V_ABCD + V_ABMD + V_ABNC.

Проведем AG || KL (см. рис. P.3.29, б). Тогда

AK + BL = GB = 12 sin ?, S_MNCD = 6 · 8 = 48,

V_ANBMCD = ? S_MNCD (AK + BL) = 4 · 48 sin ?,

S_MANB = ? AB · NM sin ? = 48 sin ?.

V_ABCD + V_ABMD + V_ABNC = 48 + ⁶/₃ (S_ABM + S_ABN) = 48 + 2S_MANB = 48 + 2 · 48 sin ?.

Таким образом,

48 + 2 · 48 sin ? = 4 · 48 sin ?.

Отсюда

sin ? = ?.

Ответ. ? = ^?/₆.

3.30. Поставим четырехугольную пирамиду A₁BB₁C ₁C, в которую вписан шар, на основание BB₁C₁C (рис. P.3.30). Пусть H — высота призмы, а — сторона ее основания. Радиусы окружностей с центрами O и O₁ равны R. Так как треугольник B₁A₁C< sub>1 правильный, то а = 2v3 R.

Рассмотрим треугольник DA₁E. Он прямоугольный и его площадь, с одной стороны, равна ?A₁D · DE, а с другой стороны, ^R/₂ (A₁D + DE + A₁E). Поскольку

получаем уравнение относительно H, которое после подстановки а = 2v3 R и возведения в квадрат принимает вид H? = 4HR, откуда H =