Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

l:href='#i_761.png'/> Получаем уравнение

Ответ. R = 5.

3.23. Проведем через точку O (рис. P.3.23) сечение B₁EC₁ пирамиды, перпендикулярное к стороне SA. Тогда угол B₁EC₁ равен ?, а OE = а. Так как пирамида правильная, то в силу симметрии треугольник B₁EC₁ равнобедренный, а B₁C₁ и BC параллельны.

Чтобы связать высоту SO с элементами треугольника B₁EC₁, рассмотрим треугольник SOA, для которого воспользуемся сравнением площадей:

SO · OA = OE · SA. (4)

Выразим все участвующие в этом соотношении отрезки через а, ? и h:

Подставив в уравнение (4) и возведя затем обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

3h? tg? ^?/₂ ? h? = 3a? tg? ^?/₂,

откуда

Чтобы привести это выражение к виду, удобному для логарифмирования, преобразуем выражение, стоящее в знаменателе под радикалом:

Ответ.

3.24. Если в сечении образуется квадрат, то плоскость сечения пересекает все четыре грани пирамиды. Кроме того, отрезок KL параллелен MN, т. е. параллелен плоскости основания, а следовательно, и ребру AB.

Аналогично отрезки KM и LN параллельны ребру DC. Итак, если в сечении пирамиды — квадрат, то плоскость сечения должна быть параллельной двум скрещивающимся прямым, на которых лежат ребра AB и DC.

Докажем обратное: если провести сечение пирамиды, плоскость которого параллельна AB и DC, то в сечении получится прямоугольник. B самом деле, то, что это будет параллелограмм, устанавливается непосредственно. Спроецировав DC на плоскость основания (рис. P.3.24), мы убедимся в том, что MN и EC взаимно перпендикулярны. Отсюда следует, что прямым будет угол между DC и MN, а значит, и между LN и MN. Таким образом, KLMN — прямоугольник.

Мы доказали, что в сечении можно получить прямоугольник только с помощью плоскости, параллельной двум скрещивающимся ребрам.

Этот прямоугольник будет квадратом, если MN = MK. Из подобия треугольников ADC и AMK находим ^MK/_CD = ^AM/_AC, причем

Подставляя в первоначальное отношение, получим

Так как MK = MN, то получим уравнение относительно стороны квадрата, из которого

Ответ.

3.25. Расположим пирамиду так, как показано на рис. P.3.25.

Соединим вершину R₁ куба с вершинами пирамиды. Пирамида АBCР разобьется на три пирамиды: R₁ABP, R₁ACP, R₁BCP, y которых общая вершина R₁ и одинаковая высота x, равная по длине ребру куба. Из сравнения объемов получим

¹/₆abc = ¹/₆ (xab + xbc + xac),

откуда найдем x.

Ответ. ^abc/_{ab + bc + ac}. 

3.26. Верхнее основание куба будет вписано в равносторонний треугольник A₁B₁C< sub>1 (рис. P.3.26) подобный основанию ABC пирамиды.

Выразим сторону A₁C₁ треугольника A₁B₁C< sub>1 через сторону вписанного квадрата:

A₁C₁ = 2A₁E₁ + a = 2a ctg 60° + a = a(1 + ²/_v3).

Площадь треугольника A₁B₁C< sub>1 тогда равна  Так как треугольники ABC и A₁B₁C< sub>1 подобны и расстояние первого от центра подобия равно h, а расстояние второго равно h ? а, то отношение площадей равно ^h?/_{(h ? a)?}. Поэтому площадь треугольника ABC равна

Ответ.

3.27. Пусть трехгранный угол пересечен некоторой плоскостью и в сечении образовался треугольник со сторонами a, b и с (рис. P.3.27).

Обозначим через x, y и