B1SA2 и B3SA2 следует также равенство треугольников A1SA2 и A2SA3, т. е. равенство всех боковых ребер. Это означает, что вершина S проецируется в центр основания А1А2А< sub>3. Тем самым доказано, что пирамида правильная.
3.14. Достроим пирамиду до полной. Все параллельные сечения пирамиды подобны. Составим схематический рис. P.3.14, на котором А и B — стороны квадратов, равновеликих основаниям, M — сторона квадрата, равновеликого сечению, проходящему через середину высоты данной усеченной пирамиды. Последнее условие мы запишем так:
Из подобия треугольников, изображенных на рис. P.3.14, следует, что
откуда
Составим среднее арифметическое величин А и B:
что и требовалось доказать.
3.15. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCE (рис. P.3.15). Угол DAE равен углу между AD и BC. Обозначим его через x.
B треугольнике DAE
AD = а1, AE = а.
Вычислим DE. Так как в дальнейшем мы воспользуемся теоремой косинусов, то удобнее находить DE?.
Отрезок DO является медианой в треугольниках ADC и BDE:
Чтобы найти DE?, достаточно вычислить BE?. Но ВЕ — диагональ параллелограмма ABCЕ, т. е. ВЕ? = 2а? + 2с? ? b?. Следовательно,
Применим к треугольнику ADE теорему косинусов:
DE? = a1? + a? ? 2aa1 cos x.
Приравнивая два выражения для DЕ?, найдем cos x. При этом следует иметь в виду, что по определению угла между скрещивающимися прямыми x — острый угол.
Ответ. 
3.16. Плоскость ABE (рис. P.3.16) делит тетраэдр на две пирамиды SABE и CABE с общим основанием ABE.
Так как отношение объемов дано, а основание у пирамиды общее, то h2 : h1 = 5 : 3, в силу же равенства SD = CD имеем
sin ?/sin ? = 3/5, т.е. sin ? = 3/5 sin ?.
Кроме того, так как тетраэдр правильный, углы ? и ? образуют угол SDO, косинус которого равен 1. Поэтому
cos ? cos ? ? sin ? sin ? = ?.
Выразив в этом уравнении sin ? и cos ? через sin ? (так как пирамида правильная, углы ? и ? острые), получим
где y = sin? ?.
Возведем в квадрат и раскроем скобки; найдем y = 2/11 и вычислим tg ?:
Поскольку sin? ? = 25/9 sin? ? = 50/99, то аналогично найдем tg ?.
Ответ. 5v2/7, v2/3.
3.17. Треугольники DAM и DMS (рис. P.3.17) имеют общую высоту, проведенную из вершины D. Поэтому отношение их площадей равно отношению оснований AM и MS.
Из подобия треугольников MSF и ASK следует, что AM : MS = KF : FS.
Отрезки KF и FS выразим через KE. По теореме синусов для треугольника KFE имеем
KF = KE sin ?/sin (? + ?) .
Так как KS = KE/2 cos ?, то
FS = KS ? KF = KE/2 cos ? ? KE sin ?/sin (? + ?) = KE sin (? ? ?)/2 cos ? sin (? + ?)
(впрочем, это можно установить и непосредственно из треугольника EFS).
Остается найти отношение KF : FS.
Ответ. 2 sin ? cos ?/sin (? ? ?).
3.18. По условию высоты DO пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив точку О с вершиной С и продолжив до пересечения с AB, получим отрезок СЕ, являющийся высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB (рис. P.3.18).
