Прямая AB перпендикулярна к DO и EC, следовательно, прямые AB и CD тоже перпендикулярны друг другу. Таким образом, прямая CD перпендикулярна к двум прямым BD и AB плоскости ABD, а потому перпендикулярна к прямой AD. Мы доказали, что угол ADC прямой. Аналогично доказывается, что прямые BD и AD тоже перпендикулярны.
Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь треугольника ADB равна ?b · AD, а площадь треугольника ADC равна ?с · AD. Отношение площадей равно отношению неравных катетов.
Ответ. b/c.
3.19. Объем пирамиды SABC (рис. P.3.19) равен удвоенному объему пирамиды с основанием DSC и высотой AD.
Так как AD = a/2, то этот объем равен Sa/6, а объем всей пирамиды равен Sa/3, где через S обозначена площадь SDC.
Проведем высоту DE и вычислим EC и DE.
Треугольник CAS равнобедренный (AS = AC), поэтому
EC = AC sin ?/2 = a/2 cos ? sin ?/2.
Так как DC = a/2 tg ?, то
Остается вычислить объем:
V = aS/3 = a/3 · DE · EC.
Ответ. 
3.20. Рассмотрим два случая:
? ? ?/2, ? > ?/2.
Если угол ? не тупой, то (рис. P.3.20, a) CD = SD = AB/2.
Пусть SO — высота пирамиды, SD и SE — высоты в треугольниках ASB и CSB. Из треугольника SOD
OS = SD sin ? = AB/2 sin ?, OD = AB/2 cos ?.
B треугольнике COE угол OEC прямой, а угол OCE равен 45°. Поэтому
OE = OC/v2 = 1/v2(CD ? OD) = AB/2v2(1 ? cos ?).
Теперь можно найти тангенс искомого угла:
tg x = OS/OE = v2 ctg ?/2.
Если угол ? тупой, то (рис. P.3.20, б) снова получим CD = SD = AB/2. Высота OS равна
OS = SD sin (? ? ?) = AB/2 sin ?,
отрезок OD равен
OD = SD cos (? ? ?) = ? AB/2 cos ?
(угол ? тупой и cos ? < 0). Треугольник СОЕ тоже прямоугольный и равнобедренный. Поэтому
OE = CO/v2 = 1/v2(CD + OD) = AB/2v2(1 ? cos ?).
Так как для OE и OS получились такие же значения, как в первом случае, то и окончательный результат не изменится.
Ответ. x = arctg (v2 ctg ?/2).
3.21. Проведем в треугольнике ABC (рис. P.3.21) высоту BD и соединим точку D с вершиной S пирамиды. Так как ребро SB образует равные углы с ребрами SC и SA, то SD — биссектриса угла ASC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. B нем
AD = SA · tg ?/4, AB = SA · tg ?, т. е. 
Так как ? — угол прямоугольного треугольника, то 0 < ? < ?/2, а потому tg ?/4 < tg ? и правая часть уравнения меньше единицы.
Ответ. 
3.22. Пусть M — середина AB. Тогда медианы СМ и DM (рис. P.3.22) являются одновременно высотами в равнобедренных треугольниках ABC и ABD. Следовательно, прямая AB перпендикулярна к плоскости CMD, а потому и к прямой CD, лежащей в этой плоскости. Треугольник CMD равнобедренный, так как СМ и MD — медианы, проведенные к общей стороне в равных треугольниках. Следовательно, его высота MK будет одновременно и медианой. Итак, отрезок KM, соединяющий середины AB и CD, есть общий перпендикуляр к этим ребрам. Поэтому центр описанного около тетраэдра ABCD шара должен лежать на этом отрезке.
Из треугольников MDB и MDK последовательно находим MD = v65, MK = 7. С другой стороны, из треугольников OKD и AMO находим
