Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

равен 45°. Треугольник ASD подобен треугольнику O₁O₅Е . Поэтому H = R. Найдем H:

H = SO₅ + O₅E + ED = v2r + ^2r/_v2 + r = r(2v2 + 1).

Теперь можно найти и объем конуса:

V = ^?r?/₃(2v2 + 1)?.

Ответ. ^?r?/₃(22v2 + 25).

3.42. Так как ребро SD перпендикулярно к плоскости основания, то треугольник SCD (рис. P.3.42, а), в который вписана окружность основания цилиндра, прямоугольный.

 Радиус этой окружности равен частному от деления площади треугольника SDC на полупериметр, т. е.

Угол MEK равен углу SAD, так как треугольники MEK и SAD подобны. Из треугольника SAD находим ctg ? SAD = ^a/_h. Следовательно, и ctg ? MEK = ^a/_h. Для дальнейших рассуждений достаточно рассмотреть трапецию EMNF (рис. P.3.42, б).

Отрезок MK = 2r. Из треугольника MEK находим

EK = MK ctg ? MEK = ^2ra/_h.

Искомый отрезок

KF = EF ? EK = a ? ^2ra/_h = ^{a(h ? 2r)} /_h.

Ответ.

3.43. Пусть OA = R, SO = H, ребро куба равно a (рис. P.3.43).

Из подобия треугольников SOA и SO₁B получим

Так как

то

Из подобия треугольников SO₁B и SO₂C

Упростим последнюю пропорцию и найдем из нее H:

С помощью первого соотношения определим теперь R:

Остается сосчитать отношение объемов: ^?R?H/_3a?. 

Ответ.

3.44. Обозначим через а сторону нижнего основания пирамиды, через b сторону ее верхнего основания, а через S площадь боковой грани. Объем пирамиды можно записать так:

С другой стороны, объем равен

Приравнивая эти два выражения, найдем

Вспомним, что боковая грань — трапеция, боковые ребра которой равны верхнему основанию. Площадь этой трапеции легко найти, если вычислить ее высоту:

Сравнивая с предыдущим выражением для S, получим уравнение относительно ^а/_b. После сокращения на а + b (равенство суммы а + b нулю не имеет геометрического смысла) и возведения в квадрат придем к выражению

2b? + ab ? а? = 0

или

(^a/_b)? ? ^a/_b ? 2 = 0.

Так как а и b — положительные величины, то ^а/_b = 2, или а = 2b.

Чтобы связать величины b и r, спроецируем точку С₁ на плоскость нижнего основания (рис. P.3.44). Поскольку радиус описанной окружности треугольника ABC в два раза больше радиуса описанной окружности треугольника А₁В₁С< sub>1, то DC = ^b/_v3.

По теореме Пифагора для треугольника С₁DС

b? ? ^b?/₃ = 4r?,

откуда

b = rv6, а = 2b = 2rv6.

Остается вычислить объем:

Ответ. 7v3r?.