AO2 = 3r, то O2E = | a/v6 ? 3r|.
По теореме Пифагора O2O?1 = O2Е? + EO?1, т. е.
(a/2 ? r)? = (a/v6 ? 3r)? + a?/12.
После простых преобразований получим уравнение
8r? + (1 ? v6)ar = 0,
откуда
r = v6 ? 1/8а.
Так как АO2 = 3r, то AO2 = 3v6 ? 1/8а, в то время как AE = a/v6.
Сравнивая AO2 и AE, мы видим, что AO2 больше. Следовательно, точка O2 на рис. P.3.49 должна располагаться ниже точки E.
Ответ. v6 ? 1/8а.
3.50. Плоскость ?, проходящая через ось РР и центр О основания пирамиды, образует в сечении некоторый треугольник SMN (рис. P.3.50). Повернем треугольник SAB около оси РР так, чтобы он лег в плоскость ?. Так как AB = MN, а высота SO меньше высоты SK, то треугольники расположатся так, как показано на рис. P.3.50. Любое другое сечение SEF пирамиды попадет внутрь пятиугольника SMABN, а все сечения дважды покроют этот пятиугольник.
Остается определить объем тела, полученного от вращения пятиугольника SMABN вокруг оси РР. Половину искомого объема можно получить в виде разности объемов цилиндра, полученного от вращения прямоугольника SKBL, и конуса, полученного от вращения треугольника SNL:
?VSMABN = VSKBL ? VSNL = ?SK? · BK ? ??LN? · BK = ?BK (SK? ? ?LN?).
Из соответствующих треугольников находим
SK = a/2 ctg ?/2; LN? = SO? = SN? ? NO? = a?/4 ctg? ?/2 ? a?/4.
Таким образом,
VSMABN = ?a (a?/4 ctg? ?/2 ? ?a?/4 ctg? ?/2 + a?/12) = ?a?/12(2 ctg? ?/2 +1).
Ответ. ?a?/12(2 ctg? ?/2 +1).
3.51. Способ 1. Рассмотрим радиус r вписанного в конус шара и угол ? (на рис. P.3.51 изображено осевое сечение конуса).
Тогда полная поверхность конуса будет равна
Sпк = ?R (R + l) = ?r? ctg? ? (1 + 1/cos 2?),
где радиус R основания конуса и его образующая l равны соответственно
R = r ctg ?, l = r ctg ?/cos 2?.
(промежуточные выкладки проделайте самостоятельно). Так как Sш = 4?r? и по условию Sпк = 2Sш, то после сокращения на ?r? и несложных преобразований приходим к тригонометрическому уравнению
1 + cos 2?/cos 2? = 8 tg? ?.
Выразив tg? ? через cos 2?, получим
1 + cos 2?/cos 2? = 81 ? cos 2?/cos 2?,
откуда cos 2? = ?.
Найдем теперь требуемое отношение объемов. Имеем
Vк = ?r?/3 ctg? ? tg 2?, Vш = 4/3?r?.
Преобразуем выражение ctg? ? tg 2?, имея в виду, что cos 2? = ?:
ctg? ? tg 2? = ctg? ? · ctg ? sin 2?/cos 2? = 1 + cos 2?/1 ? cos 2? · cos ? · 2 sin ? cos ?/? sin ? = 8.
Следовательно, Vк = 2Vш, т. е. отношение объема конуса к объему шара равно 2.
Способ 2. Представим объем конуса как сумму двух объемов V1 и V2, где V1 — объем тела, образуемого вращением заштрихованного на рис. P.3.51 треугольника вокруг оси конуса, а V2 — объем конуса с осевым сечением AOB. Имеем
Vк = V1 + V2 = ?rSб + ?rSo = r/3 (Sб + So) = r/3Sпк
(здесь использована лемма об объеме тела вращения треугольника; So — площадь основания конуса, Sб — площадь его боковой поверхности).
Так как Vш = r/3(4?r?) = r/3Sш, то
