Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

3.45. Пусть О₁ и О₂ — центры меньших шаров, О₃ — центр большого шара, а О — центр шара, радиус которого нужно определить. Спроецируем точки O₁, O₂, O₃ и О на плоскость (рис. P.3.45). Треугольник Р₁Р₂Р< sub>3 равнобедренный и точка P лежит на его медиане и высоте.

Обозначим радиус ОР = x. После этого многие отрезки на рис. P.3.45 можно будет выразить через R, r и x. Отложим на O₃Р₃ = R отрезок ВР₃ = r. Треугольники O₁O₂В и Р₁Р₂Р< sub>3 равны, как основания призмы. Перед нами задачи — связать величины r = О₁Р₁ = О₂Р₂, R = О₃Р₃, x = ОР. Прямоугольные треугольники ОО₁Е и ОО₃С позволяют вычислить отрезки РР₁ и Р₃Р. Отрезок DР₃ = AB можно найти из прямоугольного треугольника О₃АВ (О₃А можно считать известной величиной). Полученные отрезки образуют прямоугольный треугольник P₁DP, для которого будут вычислены все стороны. Теорема Пифагора для этого треугольника и даст нужное нам соотношение между r, R и x.

Проведем теперь все вычисления.

Из треугольника О₃АО₂ находим

из треугольника О₃АВ находим

Следовательно,

Вычисляем

P₃Р? = CO? = (R + x)? ? (R ? x)? = 4Rx

и

Р₁Р? = ЕО? = O₁O? ? O₁Е? = (r + x)? ? (r ? x)? = 4rx.

B треугольнике P₁DР известна гипотенуза Р₁Р. Катет Р₁D = r, а катет

По теореме Пифагора Р₁Р? = Р₁D? + DP?, т. е.

или

Решая это уравнение, находим

Хотя правая часть в обоих случаях положительна, нужно взять только знак минус, так как второе значение для vx оказывается больше vr, что невозможно.

Ответ.

3.46. Пусть O₁ и O₂ — центры двух равных шаров с радиусом R, а O₃— центр третьего шара радиусом r (рис. P.3.46). Треугольник O₁O₃F прямоугольный, т. е.

O₁O₃? = O₁F? +O₃F?.

Так как O₁O₃ = R + r, O₁F = R ? r, то остается вычислить O₃F. Из треугольника BDE, в котором DB = O₃F, имеем

DB? = DE? + ЕВ?.

Длину отрезка EB можно найти как AB ? AE. Но AB = R ctg ^?/₂ (из треугольника O₁AB), а AE = CD = r ctg ^?/₂ (из треугольника O₂CD). Таким образом,

EB? = (R ctg ^?/₂ ? r ctg ^?/₂)?.

Отрезок DE можно определить, если воспользоваться условием, что шары O₁ и O₂ касаются. Отрезок O₁O₂ равен 2R и параллелен плоскости ?. Следовательно, KB = 2R и DE = LB = R.

Величина DB? теперь найдена: