Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

DB? = R? + ctg? ^?/₂ (R ? r)?,

и теорема Пифагора для треугольника O₁O₃F примет вид

(R + r)? = (R ? r)? + R? + ctg? ^?/₂ (R ? r)?.

Раскрыв скобки в членах, не содержащих множителя ctg? ^?/₂, найдем

ctg? ^?/₂ = ^{4Rr ? R?}/_{(R ? r) ?}.

По условию ^r/_R = m; разделим числитель и знаменатель правой части почленно на R?

Число m всегда меньше единицы, так как по условию r меньше R. Кроме того, 4m ? 1 ? 0, так как слева стоит квадрат. Но ctg ^?/₂ = 0, если ^?/₂ = ^?/₅ и ? = ?, что невозможно. Поэтому 4m ? 1 > 0 и m > ?.

Ответ. При ? < m < 1 

3.47. Обозначим центры шаров буквами O₁, O₂ и O₃, а их проекции на плоскость P через A, B и C. Треугольник ABC (рис. P.3.47) равносторонний со стороной 2R, а точка O — проекция вершины S конуса — будет центром этого треугольника.

Образующую конуса, которой касается шар с центром в точке O₁, обозначим через SD, а точку касания — буквой E. Отрезок O₁E перпендикулярен SD и равен R. Так как данный конус равносторонний, то угол между образующей и ее проекцией на основание конуса равен 60°. По условию SO = 10, следовательно, DO = 10 · ctg 60° = ¹⁰/_v3. Отрезок AO находим из треугольника ABC:

AO = ^2R /_v3.

Таким образом, AD = ^{2R ? 10}/_v3. Угол ADE равен 120°, а луч O₁D делит его пополам. Из прямоугольного треугольника AO₁D

R = AD tg 60°, т.е. R = ^{2R ? 10}/_v3 v3.

откуда находим R.

Ответ. 10 см.

3.48. Пусть SO₁ и SO₂ — оси соседних конусов (рис. P.3.48). Тогда середина C отрезка O₁O₂ лежит на общей образующей этих конусов.

Угол O₁SO₂ равен углу в осевом сечении конуса, обозначим его через x. Тогда углы O₁SA₁ и О₂SA₂ равны ^x/₂. Проекции осей SO₁ и SO₂ на плоскость P лежат на образующих, по которым происходит касание конусов с плоскостью P. Так как конусов n, то угол A₁SA₂ = ^2?/_n.

Отрезок SO₁ можно выразить через А₁В двумя способами: 

а так как  то

Приравнивая полученные для SO₁ выражения, получим tg ^x/₂ = sin ^?/_n.

Ответ. x = 2 acrtg [sin ^?/_n].

3.49. Так как угол AOB (рис. P.3.49, а, б) прямой, то точки А и О лежат на сфере, построенной на AB, как на диаметре. Следовательно, все внутренние точки отрезка АО лежат внутри этой сферы. Поскольку центр сферы, радиус которой мы ищем, лежит на АО, то возможно лишь внутреннее касание сфер.

Центр О₂ вписанной сферы соединим с точкой F, в которой происходит касание сферы с одной из граней. Из подобия треугольников FО₂A и OKA имеем

где r — искомый радиус.

Спроецируем точку О₁ на АО и рассмотрим прямоугольный треугольник O₁EO₂. B нем O₁O₂ равно разности радиусов, т. е. O₁O₂ = ^a/₂ ? r; EO₁ равно половине OB, т. е. EO₁ = а^v3/₆. Отрезок O₂Е = |AE ? AO₂|. Знак абсолютной величины означает, что точка О₂ может оказаться ниже точки E, либо выше ее (см. рис. P.3.49, на котором изображены оба случая). Так как AE = ?, АО = ^a/_v6, а