Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

x⁴ + 2x? + 2x ? 1 = (х? + x ? 1)?,

то, раскрывая скобки, получим

х? + 4x ? 2 = 0, x_1,2 = ?2 ± v6.

Если же

x⁴ + 2x? + 2x ? 1 = ?(х? + x ? 1)?,

то

x?(2x? + 4x ? 1) = 0; x₃ = 0, x_4,5 = ^{?2 ± v6}/₂.

Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х? + x ? 1| ? 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.

Ответ. x_1,2 = ?2 ± v6; x_3,4 = ^{?2 ± v6}/₂.

11.18. Преобразуем первое слагаемое:

При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а ? 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене  на x могут быть введены посторонние корни x < 0.

Мы получили уравнение относительно :

y? ? 5у + 6 = 0; y₁ = 2, y₂ = 3,

откуда

Ответ. При

11.19. Логарифмируя и заменяя log_x а на, получим

т. е.

Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то log_a x > 0, а потому log_a x + 1 > 0. Следовательно,

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как

а второе слагаемое неотрицательно, то а > 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.

При log_a x ? 1, т. е. при x ? а > 1, получим уравнение

Так как а > 1, то x > а.

При 0 < log_a x < 1, т. е. при x < а, получим второе значение неизвестного:

которое будет меньше а, так как а > 1.

Ответ. При

11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, x и y оба положительны.

Прологарифмируем оба уравнения:

Так как x > 0 и y > 0, то разделим первое уравнение на второе:

а потому

Подставим найденное значение x в первое из данных уравнений:

Если y = 1, то из первого уравнения системы получаем x = 1, что не удовлетворяет второму уравнению.

Так как значения y = 0 и y = ?1 исключены, то остается

Вспомнив, что log₃ 15 = 1 + log₃ 5, получим

и найдем x.

Ответ.

11.21. Возведем второе уравнение в степень y

1024 = (^2x/₃) ^2y

и воспользуемся тем, что x^y = 243. Так как 1024 = 2¹⁰, а 243 = 3⁵, то получим

2¹⁰ = (?)^2y · 3¹⁰, откуда (?) ¹⁰ = (?)^2y

и y = 5. Из первого уравнения находим x = 3.

Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение системы.

Ответ. (3, 5).

11.22. Из самого вида системы следует, что x > 0, y > 0. Из второго уравнения имеем

а после подстановки в первое

Если y ? 1 (случаи y = 0 и y = ?1 уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим

Подставляя в первое уравнение, найдем  Следовательно,

откуда получаем x₁ = ¹⁶/₈₁,