Если sin x + cos x = 1, т. е. (x ? ?/4) = 1/v2 , то
x = n?/2 ? ?/8 и x = n? + ?/4.
Ответ. 2n?; 2n? + ?/2; n?/2 ? ?/8; n? + ?/4.
13.2. Данное уравнение можно преобразовать так:
или
Последнее уравнение равносильно системе
Решая уравнение этой системы, найдем
cos x = 1, откуда x = 2k?,
cos x = sin x, tg x = 1, откуда x = ?/4 + k?.
Так как при x = 2k? и x = ?/4 + k? условие sin? x ? 1 выполняется, то найденные значения x являются корнями данного уравнения.
Ответ. x = 2k?; x = ?/4 + k?.
13.3. Поскольку
мы приходим к уравнению
Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель 1 ? cos x/1 ? sin x. Поэтому уравнение можно записать в виде
Первые корни получаем из уравнения cos x = 1, откуда x = 2k?.
Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение
Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:
(sin? x ? cos? x) + sin x cos x (sin x ? cos x) = (sin x ? cos x)(sin x + sin x cos x + cos x).
Знаменатель можно отбросить, так как при cos x = 0 ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы 1 + sin x + sin? x не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.
Если sin x ? cos x = 0, то tg x = 1, откуда x = ?/4 + k?.
Остается решить уравнение
sin x + sin x cos x + cos x = 0.
Мы знаем, что (sin x + cos x)? = 1 + 2 sin x cos x. Отсюда
Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно y = sin x + cos x
y? + 2y ? 1 = 0.
Корни этого уравнения
y1,2 = ?1 ± v2.
Записав sin x + cos x в виде v2 cos (x ? ?/4), мы убедимся, что корень y1 = ?1 ? v2 является посторонним. Остается
cos (x ? ?/4) = 1 ? 1/v2,
откуда
x = 2k? ± arccos (1 ? 1/v2) + ?/4.
Ответ. 2k?; ?/4 + k?; 2k? ± arccos (1 ? 1/v2) + ?/4.
13.4. Данное уравнение эквивалентно системе
Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму тригонометрических функций, мы получим уравнение
cos 9x = 0, откуда x = ?/18(2n + 1).
Из найденных значений x нужно выбрать те, при которых
cos 2x cos 7x ? 0, т. е. cos 5x + cos 9x ? 0.
Так как речь идет о значениях неизвестного, при которых cos 9 x = 0, то остается потребовать, чтобы cos 5x ? 0, т. е. 5 · ?/18 (2n + 1) ? ?/2(2k + 1), откуда 5(2n + 1)/9 ? 2k + 1. Число 5(2n + 1)/9 не может быть четным, так как в его числителе лишь нечетные множители.
Оно будет целым, когда = 2n + 1/9 = 2n + 1, т. е. при n = 9m + 4.
Следовательно, корнями уравнения являются числа x = ?/18(2n + 1) при n ? 9m + 4.
Ответ. ?/18(2m ± 1); ?/18(18m ± 3); ?/18 (18m ± 5); ?/18(18m ± 7).
13.5. Если запишем данное уравнение в виде
то получим равносильное уравнение. Однако дальнейшие преобразования заставляют нас ввести ограничения:
Далее
