или
sin x/2 (cos x ? 2?/2 ? cos x/2) = 0.
Если sin x/2 = 0, то x = 2n? при любом ?. Если cos x ? 2?/2 = cos x/2, то либо x ? 2?/2 + x/2 = 2n?, откуда x = 2n? + ?, либо x ? 2?/2 ? x/2 = 2n?, откуда ? = 2n?.
Ответ. При любом ?: 2n?, 2n? + ?; при ? = 2n?: x ? любое.
13.11. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
cos 2x = sin? x ? a, cos 2x = a ? sin? x.
Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем
cos 2x = 1 ? 2a/3, cos 2x = 2a ? 1.
Первое уравнение имеет решение, если
?1 ? 1 ? 2a/3 ? 1, т. е. ?1 ? a ? 2.
Второе уравнение имеет решение, если ?1 ? 2a ? 1 ? 1, т. е. 0 ? a ? 1. Данное в условии уравнение при ?1 ? a ? 2 имеет решения
x = ?n ± ? arccos 1 ? 2a/3,
а при 0 ? a ? 1 решения
x = ?n ± ? arccos (1 ? 2a).
Так как
0 ? ? arccos 1 ? 2a/3 ? ?/4 и 0 ? ? arccos (1 ? 2a) ? ?/2,
то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут в интервал 0 ? x ? 2?.
Ответ. ? arccos 1 ? 2a/3; ? ± ? arccos 1 ? 2a/3; 2? ? ? arccos 1 ? 2a/3 (существуют при ?1 ? a ? 2);
? arccos (1 ? 2a); ? ± ? arccos (1 ? 2a); 2? ? ? arccos (1 ? 2a) (существуют при 0 ? a ? 1).
13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим образом:
sec? (17 + 8 sin x ? 16 cos? x) = sec? x (1 + 8 sin x + 16 sin? x) = sec? x (1 + 4 sin x)?.
Данное уравнение принимает вид
|1 + 4 sin x|/|cos x| = 2 tg x (1 + 4 sin x).
Если 1 + 4 sin x = 0, то x = n? + (?1)n + 1 arcsin ?. Это — корни нашего уравнения, так как cos x ? 0 и tg x существует.
Если 1 + 4 sin x ? 0, то придется рассмотреть два случая, зависящих от знака этого выражения.
Пусть 1 + 4 sin x > 0, т. е. sin x > ??. Тогда придем к уравнению
1/|cos x| = 2 tg x, или 2 tg x|cos x| = 1,
которое равносильно совокупности систем
Вторая система не имеет решений при sin x > ??. Решение первой: x = ?/6 + 2n?.
Пусть, наконец, 1 + 4 sin x < 0, т. е. sin x < ??. Уравнение
2 tg x |cos x| = ?1,
к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой совокупности систем:
Вторая система не имеет решений при sin x < ??, а первая дает нам x = ??/6 + 2n?.
Ответ. n? + (?1)n + 1 arcsin ?; ±?/6 + 2n?.
13.13. Поскольку tg x + sin x = tg x (1 + cos x) = 2 tg x cos? x/2, а tg x ? sin x = 2 tg x sin? x/2, данное уравнение можно записать в виде
v2 tg? x(|cos x/2| + |sin x/2| ? v2 cos x) = 0.
Первые решения получим при tg x = 0; x = k?. Остальные решения нам доставят корни уравнения
|cos x/2| + |sin x/2| = v2 cos x,
при которых tg x > 0 (случай tg x = 0 уже исследован). Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те решения, которые не удовлетворяют неравенству tg x > 0. Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить равносильности, добавим ограничение cos x ? 0. Получим систему
Так как одновременно tg x > 0 и cos x > 0, то sin x > 0. Поэтому
|sin x| = sin x.
Приходим к уравнению
2sin? x + sin x ? 1 = 0.
Решая его, найдем
|sin x| = ?1 ± 3/4.
Так как |sin x| ? 0, то остается решить уравнение
|sin x| = ?,
