то совокупность уравнений tg x/2 = 2 + v3 равносильна уравнению sin x = ?. Получаем x = k? + (?1)k?/6.
Ответ. 2?k; k? + (?1) k ?/6; 2?k ? 2 arctg ?.
13.18. Понижением степени данное уравнение приводится к виду
2 cos x = 1 + cos 3x/2.
С помощью формул для косинуса двойного и тройного углов приходим к уравнению относительно y = cos x/2:
4y? ? y? ? 3y + 3 = 0.
Левую часть легко разложить на множители:
4у?(y ? 1) ? 3(y ? 1) = 0, (y ? 1)(4у? ? 3) = 0.
Если cos x/2 = 1, то x1, = 4?n. Если 4 cos? x/2 = 3, то cos x = ? и x2 = 2?n ± ?/3.
Ответ. 4?n; 2?n ± ?/3.
13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках:
Теперь придем к виду, удобному для логарифмирования, правую часть уравнения:
2v2(1 + sin 2x + cos 2x) = 4v2 cos x(sin x + cos x) = 8 cos x sin (?/4 + x). В итоге получаем уравнение
которое равносильно системе
Условие sin x sin (?/4 ? x) ? 0 подсказывает, что удобнее в левой части уравнения заменить sin 4x на его разложение, стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе части уравнения на 8 sin x sin (?/4 ? x) ? 0, получим уравнение
cos x cos (?/4 ? x) [sin (?/4 + 2x) ? 1] = 0.
Среди корней уравнений cos x = 0 и cos (?/4 ? x) = 0 не может быть таких, при которых sin x sin (?/4 ? x) = 0. Остается проверить корни уравнения sin (?/4 + 2x) = 1. Преобразуем вначале условие, которому они должны удовлетворять: sin x sin (?/4 ? x) ? 0, или cos (?/4 ? 2x) ? cos ?/4 ? 0, т. е. cos (?/4 ? 2x) ? 1/v2, или sin (?/4 + 2x) ? 1/v2. Теперь ясно, что в уравнение sin (?/4 + 2x) = 1 не попали посторонние корни.
Ответ. ?/2 + n?; ??/4 + n?; ?/8 + n?.
13.20. Перепишем данное уравнение в виде
т. е.
После возведения в квадрат (при этом могут появиться посторонние корни, для которых cos x > 0) получим квадратное уравнение относительно y = cos x:
y? ? 4у ? 4 = 0, т. е. y1,2 = 2 ± 2 v2.
Положительный корень заведомо посторонний. Остается
cos x = 2 ? 2 v2.
Ответ. x = ?(2n + 1) ± arccos |2( v2 ? 1)|.
13.21. Так как sin 4x = 4 sin x cos x(2 cos? x ? 1), то данное уравнение можно переписать в виде
sin x [4 cos x (2cos? x ? 1) ? m/cos x] = 0.
Если sin x = 0, то x = k?. Это — корни данного уравнения, поскольку cos k? ? 0.
Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то приходим к биквадратному уравнению
8 cos4 x ? 4 cos? x ? m = 0,
среди корней которого не должно быть cos x = 0.
Решая это биквадратное уравнение, получим
Так как m > 0, то перед корнем берем знак плюс. (Очевидно, что при этом cos x ? 0). Воспользуемся формулой
и преобразуем уравнение к виду
Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому, чтобы уравнение имело решение, достаточно
откуда m ? 4.
Ответ. При m > 0 уравнение имеет решение x = n?; при 0 < m ? 4:
13.22. Раскроем скобки и применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:
Приведя подобные члены, получим
откуда
и
