Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

k. Поэтому

2y = ^?/₂ ? x + ?k = ? ? ?n + ?k = ? (k ? n + 1).

Так как k ? n + 1 принимает все целые значения для любого фиксированного k, то можно обозначить k ? n + 1 = p. Получаем систему решений

Остается приравнять нулю, выражения, стоящие в скобках в уравнениях (2) и (3).

Для уравнения (2) имеем

sin x + cos 2x = 0, cos 2x = cos (x + ^?/₂),

откуда x₂ = (4n + 1) ^?/₂, x₃ = (4n ? 1) ^?/₆. Получаем еще две системы решений (здесь k = 2p)

Для уравнения (3)

cos 2x ? sin x = 0, cos 2x = cos (^?/₂ ? x),

откуда x₄ = (4n ? 1) ^?/₂, x₅ = (4n + 1) ^?/₆. В этом случае k = 2p + 1, и мы находим еще две системы решений

Нетрудно заметить, что вторая и четвертая системы решений содержатся в первой.

Проверка не нужна. (Докажите.)

Ответ.

13.31. Перепишем систему в виде

Введем обозначения: sin x = u, sin y = v. Получим систему

Воспользуемся заменой v = ut:

откуда

5(t? ? 3t) = 21 ? t?,

т. е.

2t? ? 5t ? 7 = 0, t₁ = ⁷/₂, t₂ = ?1.

Если t = ⁷/₂, то из первого уравнения последней системы мы получим

u? = ⁴/₇; u ±²/_v7; v = ut = ±²/_v7 ⁷/₂ = ±v7,

что невозможно, так как v = sin y.

Если же t = ?1, то u? = ?, u = ±?.

Приходим к совокупности двух систем

Ответ.

13.32. Второе уравнение можно преобразовать так:

sin y + sin (2x ? y) = sin y,

т. е. sin (2x ? y) = 0, откуда y = 2x + n?. Подставим в первое уравнение системы

4 tg 3x = 3 tg 4x.

При условии что cos 3x ? 0 и cos 4x ? 0, это уравнение равносильно такому:

4 sin 3x cos 4x ? 3 sin 4x cos 3x = 0,

или

sin 3x cos 4x ? 3 (sin 4x cos 3x ? sin 3x cos 4x) = 0,

sin 3x cos 4x ? 3 sin x = 0.

Так как sin 3x cos 4x = ?(sin 7х ? sin x), то придем к уравнению

7 sin x = sin 7x.

По индукции можно доказать, что

sin пх ? n|sin x|,

причем равенство достигается лишь при x = k?. Следовательно, уравнение 7 sin x = sin 7х имеет решения x = k?.

При этом cos 3x ? 0 и cos 4x ? 0.

Подставляя в выражение для y, получим y = n?.

Ответ. x =k?, y = k?.

13.33. Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:

2 = sin? y + 5 cos? y,

откуда cos? y = ?, т. е. cos y = ±?.

Учитывая второе уравнение исходной системы, приходим к совокупности двух систем

Возводя при решении оба уравнения в квадрат, мы могли приобрести посторонние решения. Отсеять их можно просто: достаточно выбрать sin x и sin y так, чтобы они имели одинаковый знак (для cos x и cos y мы это уже обеспечили). Оба этих требования означают, что x и y должны лежать в одной четверти.

Решая первую систему, получим

Значения x и y будут лежать в одной четверти, если мы одновременно возьмем только верхние или только нижние знаки.

Аналогично поступаем со второй системой.

Ответ.  

где одновременно берут либо только верхние, либо только нижние знаки.

13.34. Так как sin ^?x?/₂ =