Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ответ.

13.23. Так как

sin kх sin k?x = 1 {cos [(k ? 1)kx] ? cos [k (k + 1)x]}, то уравнение можно переписать в виде

 откуда

Ответ.  где k = 0, +1, +2, ..., а натуральное n фиксировано.

13.24. Перенесем единицу в левую часть и запишем уравнение в виде

2 cos x ? cos 2x ? cos? 2x = 0,

или

2 cos x ? cos 2x (1 + cos 2x) = 0.

Выражение в скобках равно 2 cos? x. Поэтому

cos x (1 ? cos x cos 2x) = 0.

Если cos x = 0, то x = ^?/₂ + n?.

Если cos x cos 2x = 1, то

Второе уравнение первой системы преобразуется к виду 2 cos? x ? 1, т. е. cos? x = 1. Следовательно, cos x = 1 и x = 2n?.

Для второй системы аналогично получим cos? x = 0, что несовместно с первым уравнением cos x = ?1.

Ответ. ^?/₂ + n?; 2n?.

13.25. Данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем

Первая система может быть переписана так:

откуда

(Для k и n берутся только неотрицательные значения.) Приравнивая различные выражения для x, получим k? = n? + 1, откуда (k ? n)(k + n) = 1. Так как k и n — целые и неотрицательные, то

и, следовательно k = 1, n = 0.

Теперь x определяется однозначно: x = 4.

Решаем вторую систему:

где k, n = 0, 1, 2, ... .

Приравнивая правые части последней системы, получим

(2k + 1)? ? (2n + 1)? = 4, или (k ? n)(k + n + 1) = 1.

Так как n и k — целые и неотрицательные числа, то последнее уравнение равносильно системе

которая не имеет целых решений.

Ответ. 4.

13.26. Данное уравнение можно переписать в виде

sin? x + cos? x = sin? x + cos? x,

откуда

sin? x (1 ? sin x) + cos? x (1 ? cos x) = 0.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

Если в первом уравнении sin x = 0, то cos x ? 0. Получаем систему решения которой: x = 2k?.

Если в первом уравнении 1 ? sin x = 0, т. е. sin x = 1, то cos x ? 1. Приходим к системе

решения которой: x = ^{?(4k + 1)} /₂.

Ответ. 2k?; ^{?(4k + 1)} /₂.

13.27. Способ 1. Дополним левую часть данного уравнения до полного квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое: cos x cos 3x, знак которого зависит от знака cos x, так как из данного уравнения следует, что cos 3x ? 0.

Рассмотрим три случая.

1. Если cos x > 0, то перепишем данное уравнение в виде

cos? 3x + ? cos? x ? cos x cos 3x = cos 3x cos⁴ x ? cos 3x cos x,

или

(cos 3x ? ? cos x)? + cos x cos 3x (1 ? cos? x) = 0.

В левой части стоит сумма неотрицательных выражений, следовательно,

По предположению cos x > 0. Из первого уравнения последней системы следует, что тогда cos 3x > 0. Заметим, что

1 ? cos? x = (1 ? cos x)(1 + cos x + cos? x),

причем всегда 1 + cos x + cos? x > 0. В итоге приходим к системе

которая несовместна, так как при cos x = 1 мы получим cos 3x = 1, а не ?.

2. Если cos x = 0, то cos 3x = 4 cos?