Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

x ? 3 cos x = 0, и данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность корней: x = ^?/₂ + n?.

3. Если cos x < 0, то преобразуем уравнение к виду

(cos 3x + ? cos x)? + cos 3x cos x (?1 ? cos? x) = 0,

в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично случаю 1, это приводит нас к несовместной системе (закончить исследование самостоятельно).

Способ 2. Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно cos 3x:

cos? 3x ? cos 3x cos⁴ x + ? cos? x = 0.

Следовательно,

Условие cos⁸ x ? cos? x = cos? x (cos⁶ x ? 1) ? 0 является следствием данного уравнения. Если cos? x = 0, то x = ^?/₂ + ?k; эти значения x удовлетворяют первоначальному уравнению. Если же cos? x = 1, то исходное уравнение примет вид

cos? 3x ? cos 3x + ? = 0, т. е. cos 3x = ?.

Из первого условия cos? x = 1 находим x = ?k. Так как cos 3?k ? 2 , то в этом случае решений мы не получаем.

На этом примере хорошо видно, что отказ от равносильных преобразований может позволить решить задачу проще и короче.

Ответ. ^?/₂ + n?.

13.28. Данное уравнение равносильно системе

решая которую найдем ах = k? и x = 2n?. Приравнивая значения неизвестного, найденные из каждого уравнения, получим

^k?/_a = 2n?, т. е. ^k/_a = 2n.

Это в том случае, если а ? 0. Но если а = 0, данное уравнение примет вид cos x = 1 и, следовательно, имеет бесконечное множество корней.

Итак, k = 2nа.

Если а = ^p/_q — рациональное число, то k = ^2np/_q. Это значит, что при всех n, кратных q, мы будем получать корень данного уравнения x = 2n?, т. е. уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пусть теперь а — иррациональное число. Тогда при всех n, кроме n = 0, k не будет целым, а уравнение будет иметь единственное решение x = 0.

Ответ. а — иррациональное.

13.29. Так как второе уравнение легко приводится к виду

sin (2x ? y) = 0,

то y = 2x + ?k. После подстановки этих значений y в первое уравнение получим

4 tg Зх = 3 tg 4x, или 4 (tg 4x ? tg Зх) = tg 4x.

Используя простые преобразования, приходим к равносильным уравнениям:

Выражение, стоящее в скобках, может обратиться в нуль лишь при условии, что cos x, cos 2x, cos Зх одновременно равны по абсолютной величине единице. Это означает, что непременно |cos x| = 1, т. е. корнями выражения, заключенного в скобки, могут быть лишь числа x = ?n, являющиеся также и корнями множителя sin x. (Обратите внимание на то обстоятельство, что здесь нельзя написать x = ?k, поскольку буква k уже занята в записи решения второго уравнения.)

Таким образом, все решения данной системы содержатся в системе чисел x = ?n, y = ?(2n + k), которую можно переписать так: x = ?n, y = ?k. Непосредственной подстановкой в исходную систему убеждаемся, что каждая пара из системы этих значений x и y является решением.

Ответ. x = ?k, y = ?n.

13.30. Преобразовав левую часть второго уравнения в разность косинусов, получим

cos (2y + x) = О, откуда 2y = 2 ? x + kn.

Приведем теперь первое уравнение системы к виду, удобному для логарифмирования:

При подстановке в правую часть значения 2y, полученного ранее, придется рассматривать случаи k = 2p и k = 2p + 1.

Если k = 2p, то

2y = ^?/₂ ? x + 2p?

и sin 2y = cos x. Уравнение (1) преобразуется к виду

Если же k = 2p + 1, то

2y = ^?/₂ ? x + ? + 2p? = ^3?/₂ ? x + 2p?

и sin 2y = ?cos x. Уравнение (1) теперь примет вид

Поскольку значения x, при которых cos x = 0, удовлетворяют как уравнению (2), так и уравнению (3), то значениям x = (2n + 1)^?/₂ соответствуют все целые значения