Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

1, то

^?x?/₂ = ^?/₂ + 2?n,

откуда x? = 4n + 1 и

Подставив во второе уравнение, найдем

Чтобы это равенство выполнялось, необходимо

откуда n ? 2.

Ответ.  

где n = 0, 1, 2. Всего 12 решений (10 не совпадающих).

13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим tg y = 2 tg x. Так как x + y = ? ? z, то tg z = ?tg (? ? z) = ?tg (x + y).

По формуле тангенса суммы получаем

Применение неабсолютного тождества не приводит к потере решений, так как tg x и tg y входят в данную систему.

Подставляем в первое уравнение

откуда tg? x = 1, x = k? ± ^?/₄. Найти y и z теперь не составляет труда.

Производя вычисления отдельно для x = k? + /₄ и для x = k? ? /₄, после проверки получим решение системы.

Ответ.

13.36. Так как в уравнения системы входят одновременно tg x и ctg x, tg y и ctg y, то неизвестные не могут принимать значения ^k?/₂. С учетом этого данную систему можно записать сначала так:

а затем так:

откуда а tg y = 2 tg x.

Если а = 0, то tg x = 0, а ctg x не существует. Поэтому а ? 0 и tg y = ²/_a tg x. Подставляем в первое уравнение системы 

tg x + ^a/_{2 tg x} = a,   т. е. 2 tg? x ? 2a tg x + a = 0.

Решаем последнее уравнение:

и находим tg y:

Дискриминант стоящего слева квадратного трехчлена равен а? ? 2a. Он неотрицателен, если а ? 0 или а ? 2. Значение а = 0 нужно исключить.

При остальных а ни tg x, ни tg y не обращаются в нуль и существуют. Остается сделать проверку.

Ответ. Если а < 0 или а ? 2, то

где одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.

13.37. Перенесем sin y и cos y в правую часть:

Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:

1 = 2 ? 2(sin ? sin y + cos ? cos y),

т. е. cos (y ? ?) = ?. Таким образом, y ? ? = 2n? ± ^?/₃. Аналогично найдем x ? ? = 2k? ± ^?/₃.

Система еще не решена, так как при возведении в квадрат могли быть приобретены посторонние корни. Чтобы сделать проверку, подставим x = ? + 2k? ± ^?/₃ и y = ? + 2n? ± ^?/₃ в данную систему:

Обратим внимание на то, что в этой записи не исключается возможность выбора произвольных комбинаций знаков плюс и минус для x и y.

Если в выражениях для x и y взять одинаковые знаки, например плюс, то получим систему

откуда следует

tg (? + ^?/₃) = tg ? или ctg (? + ^?/₃) = ctg ?,

что неверно при всех ?.

Если взять разные знаки, то

sin (? + ^?/₃) + sin (? ? ^?/₃) = 2 sin ? cos ^?/₃ = sin ?,

cos (? + ^?/₃) + cos (? ? ^?/₃) = 2 cos ? cos ^?/₃ = cos ?,

т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.

Ответ.

где берутся или только верхние, или только нижние знаки.

Замечание. Найдя y = ? + 2n? ± ^?/₃, можно было искать x с помощью подстановки. Однако это не избавило бы нас от необходимости делать проверку, так как в процессе решения уравнения возводились в квадрат.

13.38. Первое уравнение перепишем в виде

sin (x ? y) ? cos (x + y) = 2a.

Из второго найдем

cos (x + y) = cos [2 arcsin (a + ?)] = 1 ? 2 sin? [arcsin (a + ?)] = 1 ? 2(a + ?)? = ? ? 2a? ? 2a.

Следовательно,