7x/2 = ?.
Возведя второе уравнение системы в квадрат, получим теперь, что одновременно и cos? x/2 = ?. Таким образом, исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем
в которых множество решений вторых уравнений входит в множество решений первых. (Докажите.) Это означает, что система сводится к совокупности двух вторых уравнений
cos x/2 = ±1/v2, т. е. cos? x/2 = ?,
откуда cos x = 0 и x = (2k + 1)?/2. Из найденной серии чисел отбираем те, которые удовлетворяют ограничению |x| < 5.
Ответ. x = ±?/2, ±3?/2.
13.48. Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем, что tg x = sin x/cos x, tg? x = 1/cos? x ? 1, а cos x ? 0:
Для правой части уравнения получим
При cos x ? 0 и дополнительном ограничении cos 2x ? 0 приведем исходное уравнение к виду
2 sin x cos 2x + sin x = 2 + cos 6x/5.
Произведение 2 sin x cos 2x преобразуем в разность синусов. Тогда в левой части останется только sin 3x (так как 2sin x cos 2x = sin 3x ? sin x) и уравнение примет вид
sin 3x = cos 6x/5 + 2.
Такое возможно лишь при условии, что одновременно
cos 6x/5 = ?1, а sin 3x = 1.
Поэтому данное в условии уравнение равносильно системе:
Не следует решать каждое из уравнений и отдельно записывать для них общие ограничения. Это не приведет к результату. Лучше начать с первого уравнения — его корни имеют простую запись, а затем отсеивать из решений первого уравнения те, что не удовлетворяют остальным требованиям. Итак, из уравнения cos 6x/5 = ?1 найдем, что
6x/5 = ?(2k + 1), т. е. x = 5(2k + 1)?/6.
Проверим, чему равняется при найденных x значение sin 3x. Поскольку
3x = 5(2k + 1)?/2 = 5?k + 5?/2,
то найти sin 3x мы сможем, рассмотрев две возможности: k = 2n, k = 2n + 1.
При k = 2n, т. е. k — четном
3x = 10?n + 5?/2 = 10?n + 2? + ?/2.
Мы выделили период и поэтому sin 3x при k = 2n равняется sin ?/2 = 1, т. е. второе уравнение системы удовлетворяется. Если же k = 2n + 1, т. е. k — нечетное, то
3x = 5?(2n + 1) + 5?/2 = 10?n + 5? + 2? + ?/2 = 10?n + 4? + ? + ?/2,
т. е. sin 3x = ?1. На этот раз второе уравнение системы не удовлетворяется.
Обоим уравнениям удовлетворяют значения x = 5(4n + 1)?/6. (Мы просто подставили k = 2n в найденное выше выражение для x.)
Перейдем к ограничению cos x ? 0. Преобразуем выражение для x:
x = 20?n/6 + 5?/6 = 10?n/3 + 5?/6.
Чтобы при разных n вычислить cos x, нужно рассмотреть случаи n = 3m, n = 3m + 1, n = 3m ? 1. (Обратите внимание, что вместо n = 3m ? 1 можно рассматривать n = 3m + 2, но n = 3m ? 1 удобнее.)
Для n = 3m получим
x = 10?m + 5?/6, cos x = cos 5?/6 ? 0;
при n = 3m + 1:
x = 10?3m + 1/3 + 5?/6 = 10?m + 10?/3 + 5?/6 = 10?m + 25?/6 = 10?0 + 4? + ?/6,
т. е. cos x = cos ?/6 ? 0,
при n = 3m ? 1:
x = 10?3m ? 1/3 + 5?/6 = 10?m ? 10?/3 + 5?/6 = 10?m ? 15?/6 = 10?m ? 2? ? ?/2,
т. е. cos x = cos (??/2) = 0.
Итак, значение n = 3m ? 1 не подходит, а при остальных n ограничение cos x ? 0 удовлетворяется.
Остаются два варианта:
x = 5(12m + 1)?/6, x = 5(12m + 5)?/6, m = 0, ±1, ±2.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что cos 2 x ? 0 для каждого из найденных значений.
