1,
или
cos 3t + cos t ? cos t = 1,
т. е. cos 3t = 1 и t = 2?k/3 , k = 0, ±1, ±2, ... .
Остается учесть все ограничения:
sin 2t ? 0, cos 2t ? 0, cos 2t ? ?.
Условия sin t ? 0, cos t ? 0, cos 2t ? 0 можно объединить: sin 4t ? 0. Из значений неизвестного t = 2?k/3 нужно исключить те, при которых имеет место одно из равенств: sin 4t = 0 или cos 2t = ?. Первое равенство будет иметь место, когда k делится на 3, т. е. k = 3n. Остаются две возможности: k = 3m + 1 и k = 3m ? 1. Итак, остались для проверки значения:
t = 2?(3m + 1)/3 и t = 2?(3m ? 1)/3.
Среди них не должно быть таких, что cos 2t = 1. Вычислим cos[2? (3m + 1)/3] и cos[2?(3m ? 1) /3]
cos[2?(3m + 1)/3] = cos (2?m + 2?/3) = cos 2?/3 = ??,
cos[2?(3m ? 1)/3] = cos (2?m ? 2?/3) = cos (?2?/3) = ??.
Ответ. 2?(3m ± 1)/3.
Глава 14
Тригонометрические неравенства
14.1. Неравенство равносильно такому:
sin? x > cos? x,
т. е.
cos? x ? sin? x < 0, cos 2x < 0,
откуда
?/2 + 2n? < 2x < 3?/2 + 2n?.
Ответ. ?/4 + n? < x < 3?/4 + n?.
14.2. Перепишем неравенство в виде
1/v2 cos x ? 1/v2 sin x < ?1/v2,
откуда
cos (x + ?/4) < ?1/v2,
т. е.
3?/4 + 2n? < x + ?/4 < 5?/4 + 2n?
Ответ. ?/2 + 2n? < x < ? + 2n?.
14.3. Способ 1. Неравенство sin x < 3 cos x равносильно совокупности трех систем
Решение каждой из них изображено на рис. P. 14.3.
Способ 2. Запишем данное неравенство так:
При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых tg x/2 не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство x = ?(2n + 1). Убеждаемся, что
sin ?(2n + 1) ? 3 cos ?(2n + 1) = 3,
т. е. эти точки не являются корнями неравенства.
Приходим к квадратному неравенству
3 tg? x/2 + 2 tg x/2 ? 3 < 0,
откуда
Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.
Ответ. arctg 3 + ?(2n + 1) < x < arctg 3 + 2?n.
14.4. Поскольку tg x входит в правую часть данного неравенства, замена sin 2x и cos 2x их выражениями через tg x приведет к равносильному неравенству. Обозначив tg x = y, получим
Так как 1 + y? > 0, то это неравенство равносильно такому:
y? + 2y? ? y ? 2 < 0.
Сгруппировав первый член с третьим, а второй с четвертым, разложим левую часть на множители:
(y + 2)(y + 1)(y ? 1) < 0.
Решения этого неравенства будут лежать в интервалах
y < ?2, ?1 < y < 1,
т. е.
tg x < ? 2, ?1 < tg x < 1.
Ответ. ??/2 + n? < x < ?arctg 2 + n?; ??/4 + n? < x < ?/4 + n?.
14.5. Способ 1. Неравенство равносильно совокупности двух систем
Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых tg
